【步步高通用(理)】届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题四第一讲.docVIP

专题四　数列、推理与证明第一讲　等差数列与等比数列 1．an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ 2．等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 an－an－1＝常数(n≥2) ＝常数(n≥2) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 判定方法 (1)定义法 (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1){an}为等差数列 (3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数){an}为等差数列 (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数){an}为等差数列 (5){an}为等比数列，an0{logaan}为等差数列 (1)定义法 (2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)?{an}为等比数列 (3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*){an}为等比数列 (4){an}为等差数列{aan}为等比数列(a0且a≠1) 性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq (2)an＝amqn－m (3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列 前n项和Sn＝＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝ (2)q＝1，Sn＝na1 1． (2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 答案　A 解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)． 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24. 2． (2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　方法一　设等差数列{an}的公差为d， 由题意得　解得∴d＝2. 方法二　∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. 3． (2013·辽宁)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 答案　D 解析　an＝a1＋(n－1)d，d＞0， ∴an－an－1＝d＞0，命题p1正确． nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关． 故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确． 对于p3：＝＋d，∴－＝， 当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{}递增， 但d＞a1不一定成立，则p3不正确． 对于p4：设bn＝an＋3nd， 则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0. ∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确． 综上，正确的命题为p1，p4. 4． (2013·重庆)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________. 答案　64 解析　因为a1，a2，a5成等比数列，则a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S8＝＝4×(1＋15)＝64. 5． (2013·江苏)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋ana1a2…an的最大正整数n的值为________． 答案　12 解析　由已知条件a5＝，a6＋a7＝3， 即q＋q2＝3，整理得q2＋q－6＝0， 解得q＝2，或q＝－3(舍去)． an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6， a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)， a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝2， 由a1＋a2＋…＋ana1a2…an可知2n2＋1， n≤12. 题型一　等差(比)数列的基本运算 例1　(2012·山东)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 审题破题　(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法． 解　(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5＝105，a10＝2a5， 得 解得a1＝7，d＝7.