【步步高】届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义：第十章.docVIP

§10.3　二项式定理 1． 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)． 这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，通项是展开式的第r＋1项，即Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)． 2． 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 3． 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. (2)增减性与最大值：二项式系数C，当r时，二项式系数是递增的；当r时，二项式系数是递减的． 当n是偶数时，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大． 当n是奇数时，那么其展开式中间两项T 和T的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(　×　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　×　) 2． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 答案　B 解析　Tr＋1＝Can－rbr＝C15－r(2x)r＝C×2r×xr，令r＝2， 则可得含x2项的系数为C×22＝40. 3． 在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　) A．－7 B．7 C．－28 D．28 答案　B 解析　由题意有n＝8，Tr＋1＝C()8－r(－1)rx， r＝6时为常数项，常数项为7. 4． 已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．63 B．64 C．31 D．32 答案　A 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A. 5． 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________. 答案　0 解析　a10，a11分别是含x10和x11项的系数， 所以a10＝－C，a11＝C， 所以a10＋a11＝C－C＝0. 题型一　求二项展开式的指定项或指定项系数 例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 思维启迪　先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项． 解　(1)通项公式为 Tr＋1＝Cxrx＝Crx. 因为第6项为常数项， 所以r＝5时，＝0，即n＝10. (2)令＝2，得r＝2， 故含x2的项的系数是C2＝. (3)根据通项公式，由题意得， 令＝m (m∈Z)，则10－2r＝3m，r＝5－m， ∵r∈N，∴m应为偶数． ∴m可取2,0，－2，即r可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C2x2，C5，C8x－2. 思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可． 　(1)(2013·江西)5展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 (2)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－2)rx10－5r， 令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C(－2)2＝40. (2)令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1. 因此(x＋)(2x－)5展开式中的常数项即为(2x－)5展开式中的系数与x的系数的和．(2x－)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)