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第0章 概率论知识 随机变量及其概率分布 第0章 概率论知识 随机变量的数字特征 1. 数学期望 1）离散型　设离散型随机变量X的分布律为 随机变量X的数学期望用来描述随机变量的平均值。 数学期望的统计意义，就是对随机变量进行长期观测所得到数据的算数平均数，是随机变量的理论平均数。 4） 随机变量函数的数学期望 5） 数学期望的性质 3 协方差与相关系数 4 矩 协方差矩阵 第0章 概率论知识 3 多维正态分布及其性质 1.一维正态分布 2.二维正态分布 第0章 概率论知识 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 引入列向量和矩阵 将此表达式推广到n维... 若n维随机向量X=(X1, X2 , ... , Xn )T的联合密度为 称 X 服从 n 维正态分布 记为 3. n 维正态分布 其中l为任意n维非零常数向量. n 维正态分布的性质 1）设 ，则 X的每个分量 Xi 也服从正态分布，且 且 其中L为任意m×n非零常数矩阵. 3） 且 则 则 X的各分量独立 （两两互不相关） （C为对角矩阵） 设 1 随机变量及其概率分布 2 数字特征 3 多维正态分布及其性质 4 大数定律与中心极限定理 1 大数定律 2 中心极限定理 4 大数定律与中心极限定理 1. 大数定律 大数定律的定义 切比晓夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 问题的引入 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种是: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？ 这里反映了什么样的客观统计规律呢？ μ :工件的真实值 εk :本次测量误差 第k次测量结果 Xk= μ + εk n次测量的算术平均 即大量测量值的算术平均值具有稳定性。 这就是大数定律所阐述的结论。 εk :由于测量误差的均值一般为0 此处的极限不是通常的极限 定义 对任意 或 记为 条件？？ 定理1（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) 频率的稳定性 即 　 (2)　若X为连续型随机变量，其分布密度为f (x )，则当 积分 绝对收敛时，有： 定理2　设 g(X,Y)是随机变量X,Y的函数 (1)若X,Y为离散型随机变量，其分布律为 当级数 绝对收敛时，则有： (2)　若X,Y为连续型随机变量，其分布密度为f (x,y )，则当 积分 绝对收敛时，有： 假定所提及的数学期望均存在 , （a,b,c为常数） 特别 特别 可推广到多个情形... 3）设X, Y相互独立，则 一般：设X, Y相互独立，则 2.方 差 计算公式 注意！ 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 方差的意义 1）方差的计算 计算公式 有用的公式 函数的期望 按定义计算 (2) 设 X ,Y是随机变量, a,b是常数, 则有 2） 方差的性质 特别当X ,Y独立时 (3) D(X) =0的充要条件是X以概率1取常数 有用的公式 (4) 分　　布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 几何分布 3）几种常见分布的期望和方差 这一不等式称为切比雪夫不等式 4）切比雪夫不等式 等价形式 定理 设随机变量X具有数学期望和方差 则对任意的正数ε，以下不等式成立 1）协方差 定义 称为是两个随机变量X，Y的协方差。 一般，协方差用下式计算 显然 如何描述两个随机变量之间的关系？ 协方差具有下述性质 6. 当X，Y独立时， 一个一般的公式 特别 两个随机变量X，Y的协方差描述的是它们取值变化