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有关图形的研究 一. 本周教学内容： 有关图形的研究 1. 许多几何图形当中隐含着一些内在的规律，通过一些适当的方法，挖掘图形之间的联系，从而在计算中做到不重不漏。 2. 许多几何图形可以转化，利用转化的思想可以把复杂问题简单化，把抽象问题具体化。 3. 图形之间存在着联系，有的是隐含在图形之中的，在解题时通过认真分析，沟通已知和未知的联系，从而为列方程创造条件。 4. 图形可以构造，有的图形为了解题的需要，可以构造一些基本的特殊的图形，比如构造全等形，构造等腰三角形，构造含锐角，的直角三角形等。 5. 巧妙选择方法，比如割补法、平移法、旋转法、对称法、放缩法、反证法等。 二. 重点、难点： 重点是加强基础知识、基本技能的训练，理解知识的本质及相互联系，从而使知识掌握的更扎实一些。 难点是多动脑筋思考，提高分析问题和解决问题的能力。 【例题分析】 例1：已知：如图，矩形ABCD中，，它的周长为20，将AB六等分，AD四等分，过各分点作邻边的平行线。求图中大大小小的正方形面积的和。 解：由矩形ABCD的周长为20，，可求得图中每一段小线段的长度均为1，图中正方形的总数为： 边长为1的正方形有个 边长为2的正方形有个 边长为3的正方形有个 边长为4的正方形有个 图中所有正方形面积的和为： 例2：将一边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转至的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是多少？ 分析：这个题可以用割补的方法，把不规则图形转化为规则图形。延长交DC于M。于是可以看出：重叠部分的面积等于的面积减去的面积。 解：正方形每一个角都是，在中， 在中， 例3：如图： 求度 分析：这个题A、D、E、F比较集中，可以利用转化的思想，连结AD，在四边形AFED中解决问题。根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。可知，，这样就把转化为，在四边形内解决问题。所以， 解法略。 例4：如图： 且，则x等于多少？ 分析：这个题可以寻求角之间的联系。因为，所以，因为，所以。由于有了这些联系，很容易得出解法。 解： 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 (1) (2) (1)式－(2)式得 例5：如图 为直角三角形，，正方形ADEF与正方形均为的内接正方形，则与的面积大小关系是什么？ 分析：这个题要分析两个正方形的边之间的关系，直角三角形边长是常量，可以用三边长表示正方形的边，比较正方形边的大小，从而得出正方形面积的大小。 解：设直角三角形ABC中，设正方形ADEF边长为x，正方形边长为y。设右图中斜边BC上的高为h。 连结AE，根据三角形的面积：，得出（如左图） 由三角形相似比∽， 即 根据三角形的面积相等 即正方形ADEF的面积比正方形面积大。 【考点解析】 例1. 已知：如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，过B作半圆O的切线，交OC的延长线于点F，AC的延长线交BF于点E，若，求外接圆的半径。 分析：欲求外接圆的半径，因为，所以的外接圆直径就是FO，连结BC，BC＝6，AB＝10；证∽，，设，，在中，，解得（不合题意，舍去），。 解：连结BC AB是直径 在中 由勾股定理AB＝10 切⊙O于B 又 ∽ 设，在中，由勾股定理 即 解得：（不合题意，舍去） 外接圆半径为。 点评：本题考查了相似三角形、勾股定理、三角函数、弦切角、圆周角、切线的性质等几何知识，运用方程思想，设未知数，由勾股定理建立方程，解方程求出未知数的值，从而求出线段的长。这是代数与几何的综合题。 例2. 已知如图，在直角坐标系中，线段AB在轴上，原点O在AB上，（点A在点B左侧），分别以AO、BO为斜边在AB两侧作等腰直角和（点D在第一象限内），且，A点坐标为，关于的一元二次方程的两根为，且满足。 求：（1）过点C、D、B的抛物线的解析式； （2）设抛物线与轴的另一个交点为E，与y轴的交点为G，在轴上方