局部思想与二项式定理 学法指.doc

局部思想与二项式定理 在解决二项式定理的某些问题中，如果运用局部思想，抓住关键、重点突破，可避免将二项式展开，使问题迅速获解。 1. 求某项的系数 例1. 的展开式中项的系数是___________。 解：考察展开式中含项分别与相乘后的系数，它们是和， 所以，所求项的系数为： 评：考虑局部，抓住相关项可迅速获解，若全部展开，则显得繁琐。 例2. 求展开式中项的系数（其中）。 分析1：由等比数列求和公式，得： 原式 所以只要求出展开式中的系数，即可得项的系数为。 分析2：关注各二项式展开式中的系数，分别为，所以的系数为。 例3. 求展开式中项的系数。 解：先求展开式中含的项，得： 再注意到展开式中含的项为： 所以，含的项为 ， 因此，项的系数是。 2. 整除性问题 例4. 今天是星期一，问天后是星期几？ 解：只要考虑除以7的余数。 因为 所以只要看展开式的最后一项 即余数为4，所以天后是星期五。 评：抓住余数，而能被7整除的项则不予考虑。 3. 证明不等式 例5. 求证： 证明：当时，成立。 当时， 因为展开式中至少有3项，所以 因此，原不等式成立。 例6. 求精确到0.001的近似值。 解： ，只要取前3项即可， 故 4. 证明恒等式 例7. 求证：（其中） 证明：考察等式 因为等式两边展开式中含项的系数相等，而等式左边展开式中项的系数为 等式右边展开式中项的系数为， 所以原等式成立 例8. 已知与的展开式中含项的系数相等，求实数m的最大值。 解：因为展开式中含项的系数，展开式中含项的系数，所以， 即 因为，且m为n的减函数 所以，当时，有