一元二次方程中参数的求解策.doc

一元二次方程中参数的求解策略 范运灵 有关一元二次方程中的参数（字母系数）值的求法，这类题目综合性强，方法灵活多变，是各地中考命题者倍加青睐的题目。不少同学对这类问题的求解颇感思路不清，非常棘手。为帮助同学们在复习迎考过程中掌握这类问题的求解策略，现介绍如下，供参考。 一、用方程的定义 例1. m为何值时，关于x的方程有实数根？ （2000年江西赣南中考题） 分析：关于x的方程有实根，可理解为“一元二次方程有实根”和“一元二次方程有实根”。 解：（1）当m≠0时，由 ∴当时，原方程有两个实根； （2）当m=0时，原方程变为只有一个实根。 综合（1）（2）当，原方程有实根。 二、用方程的判别式 例2. 关于x的一元二次方程有两个不等实根，则k的取值范围是（ ） （2001年安徽） A. B. C. D. 分析：由 即，故选A。 例3. 已知一元二次方程有两个相等实根，则a=___________。 （2000年黑龙江） 分析：由得。 当a=1时，方程的二次项系数为0，应舍去。 当a=－4时，， ∴。 三、用根的定义 例4. 已知一元二次方程有一个根是，则p=_________。 （1999年四川） 分析：由根的定义知，把x代入原方程，得 四、用根与系数的关系 例5. 已知关于x的方程的两个实根的平方和等于4，求实数k。 （2001年北京东城区） 分析：设两实根为，则由韦达定理得。 由。 整理，得。 当，故舍去； 当， 因此，。 五、用算术平方根的定义 例6. 关于x的方程，其中p为实数，若方程没有实根，求p的范围。 分析：从表面看，要用△求解，但用△得不出结论。设，原方程化为。 ∵∴解得。 ∵y是算术平方根，∴当原方程无解时应有， 即。 六、逆向思维，分类讨论 例7. 已知关于x的方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，则a=________。 （1998年全国初中联赛） 分析：原方程结构比较复杂，正面求解显然很繁，但我们可从反面入手，逆向思维，然后分类讨论，可简易获得。 解：原方程变形为，即 ， ∴或。 ∵a为非负整数，x为整数， ∴x=0时，a=5；x=－4或x=－1时a=1； x=1时a=3。故a的值应为1，3，5。 七、用求根公式 例8. 已知关于x的方程的两个实根之差为6，则k=_________。（2001年贵阳市） 分析：由求根公式得。 八、用几何知识 例9. 关于x的方程，其中k，n为一等腰三角形的腰和底的长，若两根之差绝对值是8，且求k，n的值。 分析：设两根为， ① 等腰三角形的高。 由 ② 把①代入②，得n=8，进而求得。 九、用三角形函数知识求解 例10. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA，cosB是关于x的方程的两个实根，求m的值。（宁波市） 分析：∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA。则 ， ∴， ∴。 十、构造方程组 例11. 关于x的方程有一个相同的实数根，则m的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. －1 解：设两个方程的相同的实根为a，则 两式相减，得。 ∵当m=－1时，给定的两个方程无实根，∴m≠－1。 因此，a=－1。把a=－1代入其中一方程可求得m=2，故选B。 十一、判别式再结合非负数性质 例12. 已知方程=0有实根，求m，n的值。 解：由题意知 即 由非负数性质知， ∴。 ∴。 故。 十二、构造不等式（组） 例13. 已知关于x的方程有正实根，求m的取值范围。 解：当m－1=0时，方程有根符合题意。 当m－1≠0时，设。 ∴ ∴ 由①，得； 由②，得； 由③，得。 ∴不等式组的解集为。 综合上述两种情况可确定m的取值范围为 。