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矩阵的特征值与特征向量
第1节 矩阵的特征值与特征向量
第2节 相似矩阵
第3节 实对称矩阵的对角化
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第3节 实对称矩阵的对角化
一 复数及复数矩阵的运算性质
若 x, y 是两个复数，则
证明：
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二 实对称矩阵的特征性质
定理：实对称矩阵的特征值全为实数。
证明：设 A 为实对称矩阵，由于方阵在复数下一定有特征值与特征向量，不妨设 λ 为 A 的任一个特征值，且x≠0为对应于 λ 的特征向量，即有Ax = λx.
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定理说明对称矩阵的特征根全是实根。由于当特征值 λ 为实数时，齐次线性方程
(A- λ E)x = 0
是实系数方程组，由 |A- λE|=0知必有实的基础解系，所以对应的特征向量为实特征向量。
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定理：属于对称矩阵A的不同特征值的特征向量必正交。
证明：
得
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定理：设λ是实对称矩阵A的任一特征值，则它的几何重数等于它的代数重数。
证明：略。
定理表明，若λ是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则对应于特征值λ，A有r个线性无关的特征向量，从而A有n个线性无关的特征向量，故A可对称化。
进一步，若对A的属于同一特征值的特征向量进行施密特正交单位化过程，则还可得到 A 的 n个正交的单位特征向量，将这n个正交的单位特征向量作成矩阵U,则有
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使
U-1AU = UTAP = Λ ，
其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
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三 实对称矩阵的对角化
依据上述定理及推论，对称阵 A 对角化的步骤为：
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例：
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令
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例：已知A如下，求正交矩阵T，使得 T’AT为对角矩阵。
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