济南大学高等数学C一ch--.pptVIP

左 右 左极限 右极限 说明： 左、右极限常用于考察分段函数在分段点处的极限. 左右极限存在但不相等, 例 证明 2.局部有界性 1.唯一性 3.局部保号性 定理3 推论 三、函数极限的性质 左右极限存在但不相等, 证明 思考题 函数极限的统一表示 小结 过程 时刻 从此时刻以后 过程 时刻 从此时刻以后 作 业 P43 T4, T6 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 播放结束 第三节 无穷大与无穷小 无穷小与无穷大的关系 无穷大 无穷小 思考题、 小结 函数极限的统一表示 内容回顾 过程 时刻 从此时刻以后 过程 时刻 从此时刻以后 1.定义 极限为零的变量称为无穷小. 一、无穷小 例如, 注： 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 定理1 证 必要性 充分性 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一变化过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 注: 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理1 定理3 无穷小与有界量的乘积是无穷小. ★ 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小. 无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算 得到的还是无穷小。 结论： 问题： 无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？ 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 二、无穷大 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 注： 只是记号，且为了讨论的需要. 运算：在自变量同一变化过程中,两个无穷大相加或相减的结果是不确定的,因此无穷大没有无穷小那样类似的性质.具体问题要具体分析. 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 定理4 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 三、无穷小与无穷大关系 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的 讨论. 解: 不一定. 思考题 无穷大是一种特殊的无界变量,无界变量一定是无穷大量吗? 无界. 不是无穷大． 小结 主要内容: 两个定义;四个定理;两个推论. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 几点注意: （1）无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的是无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3）无界变量未必是无穷大. 作 业 P48 T3 , T4 播放结束 播放结束 第二节 函数的极限 函数极限的性质 函数极限的定义 概念的引入 思考题、 小结 数列的极限 2. 几何解释 3. 性质 1.唯一性 2.有界性 3.保号性 4.收敛数列与其子数列的关系 内容回顾 一、概念的引入 数列的表示： 1、用数轴上的点 2、用平面上的点 对上述数列极限的概念作一般推广： 在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限 接近于某个常数，则此常数即为此函数在自变量的这一变化过程中的极限. 对于函数的极限，主要研究两种自变量变化过程中，函数的变化情况： 则数列 的极限是 一、函数极限的定义 （一）自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1.定义 2.另两种情形 3.几何解释 例1 证明 （二）自变量趋向有限值时函数的极限 注： ) ( 0 是否有定义无关 在点 函数极限与 x x f 1.定义 2.几何解释 注： 例2 证明 例3 证明 证明 函数在点x=1处没有定义. 用定义证明函数极限的一般步骤： 例3 3.单侧极限 例如: 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 总界面 结束 济南大学理学院 济南大学理学院 总界面 结束 济南大学理学院 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 结束 经 济 数 学 －微积分 济南大学数学科学学院 第一节 数列的极限 小结 数列的定义 数列极限的性质 数列的极限 思考题 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 割圆术