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热点总结与强化训练(二) 潘瑜 热点1 三角恒等变换 1.本热点在高考中的地位 三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三角函数的图象性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质是高考热点. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度. 从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式： (1)填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角. (2)解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研究函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质. (3)解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形. (4)解答题中，往往与平面向量相结合. 1.两角和(差)的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ tan(α±β)= 2.二倍角公式: sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α tan2α= 3.公式的逆用和变形用： asinα+bcosα= 其中tanφ= cos2α= sin2α= 本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强 对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑 技巧，如 等. 1.(2011·北京高考)已知函数f(x)= (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值. 【解题指南】(1)先把 展开，再降幂化简； (2)求出角的范围是解题的关键. 【解析】(1)因为f(x)= 所以f(x)的最小正周期为π. (2)因为 所以 于是，当 即x= 时，f(x)取得最大值2； 当 即x= 时，f(x)取得最小值-1. 2.(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1- (1)求sinC的值； (2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值. 【解题指南】(1)先利用倍角公式把sinC,cosC用 表示，再利用 =1-sinC求解；(2)由a2+b2=4(a+b)-8求a,b，再利用余弦定理求解. 【解析】(1)已知sinC+cosC=1- 整理即有： 又C为△ABC中的角， (2)∵a2+b2=4(a+b)-8 ∴a2+b2-4a-4b+4+4=0?(a-2)2+(b-2)2=0?a=2,b=2, 又∵cosC= ∴c= 3.(2011·湖南高考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小； (2)求 的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小． 【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为0Aπ,所以sinA0.从而sinC=cosC. 又sinC≠0,所以cosC≠0,所以tanC=1,则C= (2)由(1)知B= 于是 从而当 即A= 时， 取最大值2． 综上所述， 的最大值为2，此时A= B= 4．已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. (1)求 的值； (2)求f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1) (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =3cos2x-4cosx-1 因为cosx∈［-1,1］, 所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6； 当 时，f(x)取最小值 5.△ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c， cosA= (1)求 (2)若c-b=1，求a的值. 【解析】由cosA= 得sinA= 又 ∴bc=156. (1) (2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2×156× ∴a=5. 6.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状. 【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即