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多元函数的积分学小结
二重积分, 三重积分, 第一类曲线积分和第一类曲面积分属于同一类型的积分. 它们的物理背
景都可以归结为几何图形质量的计算问题. 这些积分可以给出一个统一的定义.
设Ω是一个有界的几何体. Ω可以是一个平面区域, 空间区域, 一段曲线,一块曲面. 以下暂
时将面积, 体积, 弧长统称为Ω的度量.
重积分, 第一类线, 面积分的统一定义 设Ω是一个有界的几何体, f (M ) 是定义在Ω上的
有界函数. 将Ω分割成若干个部分: ΔΩ , ΔΩ , ΔΩ . 它们的度量也记为ΔΩ (i 1, 2, , n).
1 2 n i
.n
令λ=max (diamΔΩ). 在每个ΔΩ 中任取一点M , 作和式 f (M )ΔΩ. 若当λ→0 时, 上
i i i ∑ i i
1≤≤i n
i=1
述和式存在极限, 而且极限值I 不依赖于Ω的分割法和M ∈ΔΩ 的取法, 则称极限值I 为f (M )
i i
在Ω上的积分, 记为∫Ωf (M )dΩ. 即
.n
f (M )dΩ=lim ∑f (M )ΔΩ .
∫Ω λ→0 i i
i=1
S
当Ω分别为平面区域D , 空间区域Ω, 曲线L , 曲面 时, 上述积分分别称为二重积分, 三重积分,
第一类曲线积分, 第一类曲面积分. 并且分别记为
∫∫D f (x ,y )dσ, ∫∫∫Ωf (x, y , z )dV , ∫L f (x , y , z )ds , ∫∫S f (x , y , z )dS .
当被积函数f (M ) ≡1 时, 上述积分的积分值等于Ω的度量. 即Ω= f (M )d Ω. 若Ω上
∫Ω
分布有质量, 其密度函数为μ(M ), 则Ω的质量M ∫Ωμ(M )dΩ..
积分的性质. 由于二重积分, 三
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