中心极限定理讲课.ppt

第二节 中心极限定理 四、小结 李雅普诺夫资料 德莫佛资料 拉普拉斯资料 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小 误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、 子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及 射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能 见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起 的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总 和产生的影响不大. 一、问题的引入 其概率分布情况如何呢？ 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的 随机变量相加而成的, 定理一（独立同分布的中心极限定理） 二、基本定理 定理一表明: 定理二(李雅普诺夫定理) 李雅普 则随机变量之和的标准化变量 定理二表明: (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理三是定理一的特殊情况. 证明 定理三(棣莫佛－拉普拉斯定理) 拉普拉斯 棣莫佛 根据定理一得 定理三表明: 可以利用该定理来计算二项分布的概率. 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近. 三、典型例题 解 由定理一, 例1 随机变量 问其中有29 500～30 500次纵 解 浪的冲击看作一次试验, 并假设各次试验是独立的, 在90 000次波浪冲击中纵摇角大于3o的次数记为X, 则 X 是一个随机变量, 例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于3o的概率为1/3, 若船舶遭受了 纵摇角度大于3o的概率是多少？ 90 000次波浪冲击, 将船舶每遭受一次波 所求概率为 其分布律为 直接计算很麻烦， 利用棣莫佛－拉普拉斯定理 340的概率. 例3 来参加家长会的家长人数 对于一个学生而言, 是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05， 0.8， 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长 数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于 解 由定理一得, 三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 其和的分布趋于正态 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 独立随机变量的个数增加时, 当 分布. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov Born: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia 返回 Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, England 返回