常微分方程第1讲课件.pptVIP

* * 第一讲 第一章 绪论 §1.1 微分方程模型 例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程. 解: 设所求的曲线方程为 由导数的几何意义, 应有 即 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为: 例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在 解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. 例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 例4 数学摆 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.