常微分方程的常见解法课件.ppt

二、 积分曲线的图解法 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。 三、一阶常微分方程的解法 Bernoulli方程 方程为全微分方程的充要条件 四、微分方程的近似解法 用一些函数去近似微分方程的解 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法 能得到解析解的方程： 线性方程、变量可分离的方程、 全微分方程以及能通过各种方法化为这些类型的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。 1、 逐次迭代法 对初始值问题 构造迭代序列 该序列一致收敛到解，故迭代一定次数后就可以作为一个近似 例：求初始值问题解的迭代序列的前三项 解：该初始值问题等价的积分方程为 其迭代序列的前三项为 利用计算机编程 给出步长和初始值 循环计算各点上函数的近似值 显示结果 例 求初始值问题的数值解 例 求初始值问题的数值解 利用四阶Runge=Kutta方法计算机编程 给出步长和初始值 循环计算各点上函数的近似值 显示结果 运行结果 建议: 模型要详略得当 在用微分方程解决实际问题的过程中一定要意识到实际问题是十分复杂的，微分方程只能是在一定程度上对问题的一种近似描述，只要结果的误差在一定范围内即可.任何模型都不可能把影响问题的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得结果 十分精确.一个好的微分方程模型是在实际问题的精确性和数学处理的可能性之间的一个平衡. 模型及其解 困难：无法知道下沉到海底的时间 积分和代入初始条件得： 一横截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,由池底一横截面积为B的小孔放水. 求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间 . 值得进一步探讨的问题: 漏斗型的容器 由于水的张力的原因， 每次水都无法全部留尽，总会 剩一小部分在容器中。如何才 能让水尽可能少的留在容器 中？我们知道，水与容器接触 的面积越大，留在容器中的水 就越多先讨论一下漏斗的模 型。 容器的位置 可否将容器倾斜，使 上部的面积大于下部的 面积，使水流的速度更 快？ 倾斜角度？ 容器的运动状态 容器的运动状态对流水的速度是肯定会 造成影响的，考虑极限的状态，如果容器以大于 等于当地重力加速度的加速度竖直向下运动，那 么，容器里的水就不会流出。容器以不同的方式 运动时对水的流出时间有多少影响？有没有一种 运动状态能加快水流的速度呢？ 涡流的影响 涡流对水流的速度是有一定影响的。拿一 个水桶反复做这样的试验：首先将桶装满水，记 录水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，让水 自然从桶破了的孔中流出，测量流出的时间，然 后反复从同一高度作相同的试验，最后求出水自 然流尽所需时间的平均值；然后从同一高度作相 同的试验，不同的是用一根棍子绕同一方向在水 中搅动，使其产生涡流，然后重复上面的步骤。 最后发现通过两种方法测得的水流尽所需时间的 平均值有较大的差距，于是猜想有无涡流或许对 水流的速度也是有一定影响的。 还可构造四阶(经典)Runge-Kutta方法 四阶(经典)Runge=Kutta方法有4阶精度 printlev1:=0: h:=0.1: x[0]:=0: y[0]:=0.5: f:=(x,y)-1+(y-x)^2; for n from 1 to 10 do x[n]:=h*n; k1:=f(x[n-1],y[n-1]); k2:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k1*h/2); k3:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k2*h/2); k4:=f(x[n-1]+h,y[n-1]+k3*h); y[n]:=y[n-1]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; u[n]:=x[n]+1/(2-x[n]); print (x[n],y[n], u[n]); od: 适应范围 与变化率有关的各种实际问题 应用三步曲 (1) 建模 即根据实际问题建立起适当的微分方程， 给出其定解条件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻译