常微分方程二课件.pptVIP

（二） 一阶线性微分方程 【一阶线性微分方程】 定义 称为一阶线性微分方程 形如： 的方程 说明 1、“线性”指的是在方程中未知 函数 和它的导数 的项都是一次的. 为自由项. 2、当 时， 方程 一阶线性微分方程 称为一阶齐次线性微分方程. 2、当 时， 称为一阶非齐次线性微分方程. 方程 一、一阶齐次线性微分方程的解 推导 方程分离变量, 得 两边积分 一阶线性微分方程 即 令 的通解为: 公式 形如 的通解为: 一阶线性微分方程 求微分方程 的通解 例1 解: 由题意，得 故微分方程的通解为 一阶线性微分方程 或 : 移项，得 分离变量，得 两边积分 解得 一阶线性微分方程 故微分方程的通解为 令 微分方程 1、方程 的通解是 B． C． D． A． 练习 解: 微分方程 2、方程 的通解是 B． C． D． A． 解: 微分方程 3、微分方程 的特解是 B． C． D． A． 解: 令 一阶线性微分方程 （二）、一阶非齐次线性微分方程的解 推导 齐次方程 的通解为： （C为任意常数） 设 的通解为： 将其代入 一阶线性微分方程 整理,得 两边积分,得 故齐次线性微分方程的解为: 一阶线性微分方程 （C为任意常数） 解法 形如 的通解为: 1、公式法： （C为任意常数） 2、常数变易法 ①线求齐次方程 的通解 一阶线性微分方程 利用分离变量法或公式法求得通解 ②设原方程通解为 将其代入 求得通解 求方程 的通解 例2 解法一: 公式法： 一阶线性微分方程 由题意，得 一阶线性微分方程 故微分方程的通解为: 一阶线性微分方程 解法二: 常数变易法 先求对应齐次方程 的通解 分离变量,得 两边积分 解得 一阶线性微分方程 故齐次方程的通解为 设原方程通解为 把 和 代入原方程得: 故微分方程的通解为: 一阶线性微分方程 下列微分方程的通解 练习 一阶线性微分方程 解: 1、先求对应齐次方程 的通解 设原方程通解为 则 把 和 代入原方程得: 一阶线性微分方程 整理,得: 故微分方程的通解为: 解法一: 2、公式法： 由题意，得 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 故微分方程的通解为: 解法二: 常数变易法 先求对应齐次方程 的通解 分离变量,得 两边积分 一阶线性微分方程 解得 故齐次方程的通解为 设原方程通解为 把 和 代入原方程得: 一阶线性微分方程 故微分方程的通解为: