常微分方程ppt4课件.ppt

线性方程组 齐次和非齐次方程组 和非齐次方程组 存在惟一性定理的证明思路 一阶线性方程 直接求解和利用解的存在唯一性定理； 在有限区间上重复使用一阶方程初始值问 题解的存在唯一性定理。 高阶方程：化为方程组 课堂练习 求　　　　　　 　　 的通解。 作业　　 P127 习题3.2 12 的解一定存在, 因为 所以这n个解一定线性无关, 故定理得证. 定理3.6 如果 （3.2.2）的n个线性无关的解。则它一定是该方程的 基本解组，即方程（3.2.2）的任一解 都可以 表示成 证明: 设 是方程 (3.2.2) 的任一解, 并且满足条件 是n阶齐次方程 考虑方程组 由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的 Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零. 因而上面的方程组有惟一解 现以这 组解构造函数 由解的叠加原理 和惟一性定理得 即 定理3.7 (通解结构定理) 若 性无关的解，则方程的通解可以表示成 其中 是任意常数 . 是方程（3.2.2）的n个线 综上得到下列等价命题. 定理3.8 是方程（3.2.2）的n个解， 设 则下列命题等价 (1) 方程（3.2.2）的通解为 (2) (3) (4) 存在 使 (5) 任给 有 是方程的基本解组. 在(a,b)上线性无关. 定理 3.9 (刘维尔公式) 注1： 上恒为零. 设 是它的Wronskian行列式，则对(a,b)上任意 都有 一点， 上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式. 内有一点为零，则在整个 在 是（3.2.2）的任意n个解， 注2：对二阶微分方程 若 是方程的一个解，则可得通解. 设是 用 乘以上式两端可得 不同解，则由刘维尔公式可 与 以推得 由此得 取 为另一个解，因为 所以 与 线性无关. 则 例5 求方程 解：易知 为通解，所以 的通解. 三、非齐次线性方程解的结构 定理3.10 n阶线性非齐次方程 的通解等于它所对应的齐次方程的通解与 它的一个特解之和。 (3.2.10) 证明: 设 是方程 （3.2.10) 的一个特解， 是方程 （3.2.2) 的通解。首先我们证明 是方程 （3.2.10) 的解。事实上 所以 是方程 （3.2.10) 的解。 即 是方程 （3.2.10) 的通解。 其次证 即证对于（3.2.10）的任意一解 总可以表示为 其中 是由 中的任意常数取 某一特定的值而得到的。事实上， 因为 所以 是方程（3.2.2）的解，其中 可由 中的任意常数取某一特定的值而得到。 于是 定理 3.11 设 和 的解 ，则 是方程 的解。 分别是非齐次线性方程 与 证明：由已知可得 因为 所以 是方程 的解。 常数变易法求特解 是方程（3.2.2）的n个线性 设 无关的解， 因而 (3.2.2) 的通解为 (3.2.11) 为求 (3.2.1) 的一个特解, 将(3.2.11) 中的 常数看成 关于t 的函数, 此时(3.2.11) 式变为 (3.2.12) 将 (3.2.12) 代入 (3.2.1) 得到一个 所满足的关系式. 我们还需要另外 n-1个条件来求出 在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件. 对 (3.2.12) 式两边对t 求导得 令 得到 * * * * 一、基本概念 及其各阶 均为一次的n阶微分方程， n阶线性微分方程: 我们将未知函数 导数 称为n阶线性微分方程. 它的一般形式为: §3.2 线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论. 式中 上的连续函数。 及 是区间 n阶线性齐次微分方程: 如果 式中的 则(3.2.1)变为 我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（3.2.1）称非齐线性方程。 一阶线性方程 通解为 前两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程，后一个方程是非线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的存在惟一性定理. 定理3.1：如果(3.2.1）的系数 及右端函数 在区间 上连续， 方程（3.2.1）存在惟一的解 满足下列初始条件 则对任一个 及任意的 如果系数 及右端函数 在(a,b)存在惟一的解. 证明 仅考虑 上连续，则对任一个 一阶线性方程 在区间 初始值问题 及任意的 在区域 的情况，取 对任意的 ,函数 中连续, 记 在 中 由于 由第二章初始值问题解的存在唯一性定理得，该初 始