工程矩阵理论东南周建华课件.ppt

工 程 教 材 工程矩阵理论，张明淳，东南大学出版社 参 考 书 高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社 Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 1985(中译本，杨奇译，天津大学出版社） 要 求 重点是基本理论，基本方法； 结合授课内容，熟悉课本； 通过例题，掌握相关概念和理论； 通过练习题，熟悉相关理论、方法； 及时复习、总结，巩固所学内容。 本课程大致内容 第0章 复习与引深 第1章 线性空间与线性变换 第2章 内积空间、等距变换 第3章 矩阵的相似标准形 第4章 Hermite二次型 第5章 范数及矩阵函数 第6章 矩阵的广义逆 矩阵理论 第0章 复习与引深 矩阵运算 线性方程组 向量组的极大无关组及秩 矩阵的秩及等价标准形 矩阵的乘法中应注意的问题 1 存在非零零因子 例1 2 不可交换 由此导致的一些问题 乘法消去律不成立 例3 分块矩阵的乘法规则 设 条件：上式有意义 一些特殊的分块形式 1. （接上页） （接上页） （接上页） 非齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组的基础解系 Gauss消元法 例5 简化阶梯形矩阵 例5 例6 例6 向量组的极大无关组及秩 例7 矩阵的秩 矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩 例8 例9 设A是n阶幂等矩阵，证明： 矩阵的等价标准形 （满秩分解） 例11： 线性空间和线性变换 第一节 线性空间的定义 用F表示实数全体（R）或复数全体（C）. 如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。 例1 例1（续） 线性空间的性质 第二节 基、维数和坐标 如： 一些重要结论 一些重要结论（续） 例1 定义（基，维数） 注： 例2 定理1 定义（坐标）： 例4 例5 注 2.基的几何意义 定理2 例6 例7 形式记号 形式记号 形式记号的性质 例8 定义(过渡矩阵) 过渡矩阵的性质 例9 定理3(坐标变换公式) 例10 第三节 子空间, 交与和 定理1 两类重要的子空间 命题： 例1 例2 例3 例4 定理2 子空间的交与和 注：交与并的区别 定理4（维数定理） 例5 例6 例7 直和 定理5 例8 例9 多个子空间的直和   第四节 线性映射 定义： 例1 例1 例2 注 线性映射的性质： 例3 例4 线性变换的运算 线性变换的运算的性质： 线性映射（变换）的矩阵： 例 例5 定理2 定理3 例6 定理4 第五节 线性映射的值域及核子空间 值域的计算 核子空间的计算 定理2（线性变换的维数定理） 例1 定义（不变子空间）： 为何要讨论不变子空间？ 为何要讨论不变子空间？ 例2 线性空间的同构 第二章 第一节 基本概念 本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间 约定：数域F指实数域R或复数域C 例1 内积的性质 度量矩阵 向量的模（长度） C-B不等式 三角不等式 正交性 标准正交基 标准正交基下的内积 Schmidt正交化方法 例2 例3 酉矩阵 定理1 注 矩阵的UT分解 例 定理2 第二节 正交补空间 正交补空间 正交补空间的计算 正交补空间的计算 例1 一个几何问题 例2 例3 最小二乘解 第三节 等距变换 例1 定理1 镜像变换 第三章 矩阵的相似标准形 矩阵与线性变换 本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。 第一节 特征值与特征向量 矩阵的相似对角化 线性变换的特征值、特征向量 线性变换的可对角化问题 例1 线性变换的特征值、特征向量的计算 例2 定理1 特征多项式的计算 主子式与子式 主子式与子式 特征多项式的计算 矩阵的迹 例3 化零多项式 第二节 Hamilton-Cayley定理 例1 例2 最小多项式 定理1 例1 例2 例3 第三节 可对角化的条件 目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 已知的判别方法 线性变换的可对角化问题 特征子空间 可对角化的条件 例1 定理1 定理2 例2 定理3 例3 例4 第四节 Jordan标准形 Jordan形矩阵 例1 Jordan标准形的存在性、唯一性 唯一性的证明思路 定理1 例2 例3 例4 分块矩阵的最小多项式 Jordan标准形与最小多项式 例5 例6 例7 例8 例9 存在性的证明思路 存在性的证明思路