导数的几何意义很好课件.ppt

3.1.3导数的几何意义 求切线方程的一般步骤： * * 1、平均变化率 一般的，函数　　在区间上 的平均变化率为 ②割线的斜率 O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 回顾复习 2.导数的概念 3.求函数 在 处的导数的步骤 （1）求平均变化率 （2）取极限 下面来看导数的几何意义: β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线, 新课探究 请看当点Q沿着曲线逐渐向 点P接近时,割线PQ的变化 趋势是什么？ P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ趋近于确定的位置PT.我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 那么当Δx→0时,割线PQ的斜率就无限趋近于切线PT的斜率。 即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. 典例分析 例1．求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率。 解：过点(1，1)的切线斜率是 f ’(1)= 因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2. 例3．求抛物线y=x2过点( ，6)的切线方程。 解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点(x0，x02)，因为 又因为此切线过点( ，6)和点(x0，x02), 所以此切线方程的斜率为2x0， 所以 即x02－5x0+6=0， 解得x0=2，或x0=3， 所以切线方程为y=4x－4或 y=6x－9. (1) 与该点的位置有关; (2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限, 则在此点有切线, 且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 注意,曲线在某点处的切线: 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 什么是导函数? 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 新课探究 如何求函数y=f(x)的导数? （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 1.求切线方程的步骤： 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。 小结 （3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。 小结