对称与群课件.pptVIP

* 第一章 群的基本概念 1.1 对称 1.2 群 1.3 乘法表 1.4 群的各种子集 1.5 群的直积、同构和同态 1.6 给定阶的不同群 * 1.1 对 称 ● 世界处于既对称又不严格对称的矛盾统一中 ● 研究从简单的对称性——考虑非对称因素 一、对称性（symmetry）： 系统对某种变换保持不变的性质 对称性的高低： 保持系统不变的变换越多，系统对称性越高 * 斜三角形： 恒等变换 E （1个） 等腰三角形： E，x→ -x （2个） 正三角形： E，x→ -x，绕O转120度 （1个 3个 6个 ） 圆： E，任直径反射，绕O任转动 无穷多 * 二、对称变换 保持系统不变的变换 ●对称变换的集合描写系统的全部对称性质 ●根据系统的对称性质，通过群论方法，可直接得到系统许多精确的、与细节无关的重要性质 如：量子力学中，系统H可能很复杂，薛定谔方程难以精确求解，但从对称性入手（对称性——守恒量），可得到系统某些精确与细节无关的性质（书中有对N粒子孤立系统H量的分析）；也可对系统的定态波函数进行分类，并可得到精确的跃迁选择定则。 * 1.2 群 一、对称变换集合的一般性质 两个变换的乘积：定义为相继两次变换 BA 两个对称变换的乘积：相继两次对称变换 SR 仍为系统的对称变换 三个对称变换的乘积：满足结合律 恒等变换：也是一个对称变换 E ，ER=R 它与任何一个对称变换的乘积仍然是该变换 对称变换的逆变换：也是一个对称变换 R-1 * 二、群的定义（Group） 在规定了元素的“乘积”法则之后，元素的集合G若满足下面四个条件，则称为群。 1）集合对乘积的封闭性 2）乘积满足结合律 3）集合中存在恒元，用它左乘群元素保持该元素不变 4）任元素的逆存在于集合中，满足 * 说 明 1. 规定的“乘积”法则，不一定相乘，只是一种运算规则 如：所有整数集合，在数的加法规则下构成群 2. 群元素的唯一性 3. 群中恒元的唯一性 4. 恒元的逆元仍是恒元 5. 群中任一元素的逆元是唯一的 * 几个公式 1. 4. 若 则 5. 3. 若 则 2. 证 明 ！ =R-1R =ER * 三、群的分类 阿贝尔群 群元素的乘积都可对易得群 SR=RS 非阿贝尔群 群中至少有一对元素乘积不能对易 有限群 群元素的数目有限（如正三角形对称变换群） 元素的数目g称为群的阶（oder） 无限群 群元素的数目无限（如圆对称变换群） 无限群的阶不同，后面会讲 连续群 群元素可用一组连续变化的参数描写 分立群 群元素个数是可数无限的（如整数群） 又称 离散群 * 举例： 1. 普通乘法运算下由实数1，-1组成的集合。 2. 在乘法运算下由复数1，i，-1，-i组成的集合。 3. 在加法运算下由所有实整数组成的集合。 4. 在加法运算下由所有实数组成的集合。 证明是否构成群；若构成群则说明属于哪类群。 * 四、对称群 一个系统所有对称变换构成的群 以正方形为例 1 2 3 4 5 6 8 7 a f b g c h d e o * 讨论所有对称变换（如转动，反射，但无弯曲，拉伸） Cn 绕某轴转 2π/n 角度，轴称为 n 重对称轴 Cnk 连续k个Cn操作，即绕轴转2kπ/n 角度 m/σ 标记对平面反射 E 标记恒等变换 下面列举正方形的所有对称变换 * C42=C4C4 c d a b E a b c d C4 b c d a C43 d a b c =C44 mx d c b a my b a d c σu a d c b σv c b a d 规定正方形逆时针转动 * 以上8个操作完全包括了正方形所有的对称变换 这8个变换构成一个群——正方形对称群 C4v or D4 证 明 ！ 主动观点:坐标系不动，正方形变换 被动观点：正方形不动，坐标系变换 互为逆变换 本章从对称性出发，讨论群的基本概念，通过简单常见的例子，使学生对群有较具体的认识， 然后引入群的其他概念，如 子群，群的直积，同构，同态等。 1.1 对称是人们十分熟悉的用语 例子： 斜三角形，通常不对称，只有恒等变换，即不变的变换，才保持斜三角形不变 对称性由低到高，圆保持不变的变换最多，对称性最高，与我们直观认识一致 由对称性的研究概括出群的