地图学第二章地图的数学基础课件.ppt

第二章 地图的数学基础 §1 地球的形状和大小 §2 地面点位置的表示 §3 地图投影概述 §4 地图投影变形 §5 地图投影分类 §6 方位投影 §7 圆柱投影 §8 圆锥投影 §9 变形复杂的投影 §10 地图投影的应用 §1 地球的形状和大小 一、地球的自然表面 §3 地图投影概述 一、投影变形的概念 §4 地图投影变形 地图投影变形 长度变形 面积变形 角度变形 二、 变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为变形椭圆。 X2＋Y2＝1 证明: 球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆 设地面上微分圆r＝1 三、投影变形的性质和大小 1.长度比和长度变形 长度比 投影面上一微小线段（变形椭圆的半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆的半径）之比。 长度变形 长度比与1的差值。 无变形 变长 变短 经线长度比m 纬线长度比n 最大长度比a 最小长度比b 经线方向 纬线方向 长轴方向 短轴方向 主方向 解析几何中的阿波隆尼定理： 椭圆共轭半径的平方和为一常数，并等于长、短半轴的平方和。 以椭圆两共轭半径为边所构成的三角形面积为常数，并等于以椭圆长、短半轴为边构成的三角形的面积。 将 将带入阿波隆尼的公式中得： 2.面积比和面积变形 面积比 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）与球面上相应的微小面积（微分圆面积）之比。 面积变形 面积比与1的差值。 无变形 变大 变小 3.角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。 角度变形 以ω表示角度最大变形。 ∵ ∴ 上式两边各用tanα加和减，得： 根据三角函数公式： 上面两式相除得： 当α + α ′=90°时，sin(α + α ′)=1， α － α ′的差值最大，则 ： B α μ μ′ α′ B′ §5 地图投影分类 一、按地图投影的变形性质分类 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等 等角投影 无角度变形，ω=0 θ ＝90° m＝n 由 a＝b 或者 根据公式 面积变形大 适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等 投影面与椭球面上相应区域的面积相等 等积投影 无面积变形，Vp＝0 P＝1 适用于对面积精度要求高的自然地图和社会经济地图 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积 任意投影 等距投影 在主方向之一上没有长度变形的任意投影 a＝1或b＝1 角度变形小于等积投影，面积变形小于等角投影 用于要求面积和角度变形都不大的地图，如教学用图 面积不变 特定方向 距离不变 形状不变 在任何投影图上，均存在着长度变形，长度变形是影响面积变形和角度变形的因素。 在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性，在任意投影上不能保持等积和等角的特性。 等积投影的形状变化比其它投影大，等角投影的面积变形比其它投影大。 二、按地图投影的构成方法分类 1、几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 以平面作投影面的投影 方位投影 以圆柱面作投影面的投影 圆柱投影 （1）、按辅助投影面的类型分 以圆锥面作投影面的投影 圆锥投影 *新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 * 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体 二、地球的物理表面 铅垂线 水准面 水平面 大地水准面 重力（离心力和地球引力的合力）的方向线，是测量工作的基准线 静止的海水面向陆地延伸，形成的封闭曲面，处处与重力方向垂直 与水准面相切的平面 通过平均海水面的水准面 ，是测绘工作的基准面 大地体 大地水准面所包围的地球实体，代表了地球的形状和大小 水平面 大地水准面的意义 大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很近似，其面上高出与面下缺少的质量相当 大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体 大地水准面实际上是重力等位面，因此可使用仪器测得相对于大地水准面的海拔高程 三、地球的数学表面 参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作为地球的参考形状和大小，是对地球形体的二级逼近。它的表面称为参考椭球面，是测量计算的基准面 Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b 椭球体三要素 长轴 a（赤道半径） 短轴 b（极半径） 椭球的扁率 f 世界大地测量坐标系WGS－84 a = 6 378 137m b = 6 356