全国各地中考数学解答题压轴题解析2.docVIP

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2） 1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。 （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=，OC=AC=1。即B（）。 （2）不失一般性，当点P在轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，∴AO与BQ不平行。 ①当点P在轴负半轴上时，点Q在点B的下方， 此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， 当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=。 由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=， ∴此时P的坐标为（）。 ②当点P在轴正半轴上时，点Q在点B的上方， 此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， 当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=， 由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=， ∴此时P的坐标为（）。 综上所述，P的坐标为（）或（）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。 【分析】（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）根据点P在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.（湖南永州10分）探究问题： ⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF． ⑵方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． 【答案】解：（1）EAF、△EAF、GF。 （2）DE＋BF=EF。证明如下： 假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG， 此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°， ∴点G，B，F在同一条直线上。 ∵∠EAF=， ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF，即。 ∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=，即∠GAF=∠EAF。 又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）。∴GF=EF。 又∵GF=BG＋BF=DE+BF， ∴DE＋BF=EF。 （3）当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF=EF。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），等量代换。 【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案。 （2）利用旋转的性质，由已知得出∠GAF=∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案。 （3）根据角之间关系，只要满足∠B＋∠D=1