庞加莱猜想的提出和解决.ppt

庞加莱猜想的提出和解决 什么是庞加莱猜想 庞加莱在1904年提出这一猜想的：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。 庞加莱（HenriPoincaré） 法国数学家 ——“最后一位数学全才” 最后一位数学全才——庞加莱 在庞加莱留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的 ——“庞加莱猜想” 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）: “有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 猜想的简单比喻 想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。 　　不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 　继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。 庞加莱猜想的三维电脑模型 另一个简单比喻 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点； 　　另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 　　为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 庞加莱猜想图示 庞加莱猜想——七个“千禧难题”之一 七个千禧难题：2000年美国克莱数学研究所 1.NP完全问题， 2.霍奇猜想（Hodge）， 3.黎曼假设（Riemann）， 4.杨－米尔斯理论（Yang-Mills）， 5.纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程）， 6.BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。 7.庞加莱猜想 解决庞加莱猜想的意义 假设你完全不知道地球的地理情况,你一次又一次派出远征的船队,这些船队接连发现新的大陆。直到已知大陆的数量增长到六块。可是你并不知道这是否就是地球上所有的大陆了。你继续派出船队,前前后后出征了几百次,但是他们没有再发现任何新的大陆。这时你提出一个猜想:地球上没有更多的大陆了。 这个猜想看起来很合理,但是它仍需要论证。这时,佩雷尔曼出现了,他用完美的严密方式向你和全世界证明,地球上确实没有更多的大陆了。 ——俄罗斯数学家米哈伊尔·格罗莫夫 (MikhailGromov)的一个比方 解决庞加莱猜想的意义 “庞加莱猜想是拓扑和几何的主流，被国际上许多数学家所关注，并致力于研究。破解和‘封顶’的意义是十分深远的”。 “哥德巴赫猜想很重要，但是庞加莱猜想更重要，国内研究哥德巴赫猜想的人很多，但国际上很少，知道的人也很少。” ——??丘成桐 ——丘成桐，哈佛大学 教授，菲尔茨奖得主 。 研究领域：分析几何 解决庞加莱猜想的意义 “分析一个猜想或者难题重不重要，关键要看它的破解，会不会带动其