第二章线性系统的数学模型本章重点运用拉氏变换法求解线性微分.doc

第二章　线性系统的数学模型 本章重点 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 线性系统微分方程的建立； 传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。 本章难点 运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程； (2) 建立系统的结构图或信号流图； (3)　结构图和信号流图等效变换的灵活运用； (4)　建立系统的动态方程。 物理模型—　理想化的物理系统 数学模型—　物理模型的数学描述 建模——建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。 建模的线性化问题 两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。 §2.1 线性系统的输入—输出时间函数描述 系统的输入—输出描述：是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控制量与给定量或扰动量之间的关系 。 一、列写微分方程法（机理分析法） 1.　线性元件的微分方程 (1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。 (2) 根据物理或化学定律，列出微分方程。 (3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）。 例2.1　弹簧阻尼系统 f — 粘滞摩擦系数 k— 弹簧系数 v— 物体相对的移动速度 例2.1　机械传递系统 xa和xb作为网络的结点。在每一个节点上，力的和等于零。 综合两个方程可以得到： “D”表示微分算子 G＝G1G2 例2-2　　机械旋转系统 f — 粘滞摩擦系数 k— 弹性扭转变形系数 例2-3电阻、电感、电容串联网络 机械传递系统 电气网络 f v M K B x 力 速度 质量 弹性系数 阻尼系数 线位移 u i L 1/C R q 电压 电流 电感 电容倒数 电阻 电荷 例2-4　直流他激电动机带动负载 设激磁电流恒定并忽略电枢反应。 ω为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载 1) 电枢回路的电势平衡方程为： 2)电动机的反电势方程为 Ce为电动机的电势常数，单位为v·s／rad。 3)电动机的电磁转矩方程为 Cm为电动机的转矩常数，单位为Nm／A。 4)电动机轴上的动力学方程为 J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N·m·s2。 　消去ea、ia、M三个中间变量，可以得到描述输出量ω，输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为： 电机的电磁时间常 电压传递系数 电机的机械时间常数 转矩传递系数 　通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电动机的微分方程可以简化为： 如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为 2　微分方程的增量化表示 若电动机处于平衡状态，各阶导数均等于零，微分方程可以变为下面的代数方程： 　表示平衡状态下的输入量和输出量的关系，称为静态方程，表示了电机的控制特性和机械特性。 电动机在平衡状态附近运行的变量可以表示为： 将上面变量代回到简化的微分方程中，并考虑平衡状态的变量关系 可以得到 这是电动机的微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。 3　非线性方程的线性化 非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。 在一定工作范围内进行线性化处理。 将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。 例：直流发电机 X轴表示励磁电流 Y轴表示输出电势 由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系 y=f(x) 可以在(x0,y0)附近泰勒级数 忽略高次项，然后用增量表示 是比例常数。 经上述处理后，就变成了线性方程。 对于具有两个自变量的非线性函数 在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。 用增量表示 是比例常数。 上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化 。 几点注意： (1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。 二、脉冲响应法（实验辩识法） 描述线性定常系统的微分方程为： 实验辨识方法的理论依据 ： 假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零 ，其响应和输入之