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无穷级数与函数逼近 孙永健制作 二○○四年二月 无穷级数与函数逼近 级数和的演示 函数幂级数展开 傅立叶级数 例1：观察 的部分和序列 的变化趋势，并求和。 级数和的演示 解： 程序1 S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}] data=Table[S[n],{n,100}]; ListPlot[data] 运行后的图象 图1 程序1 再求出其和来 S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}] data=Table[S[n],{n,100}]; ListPlot[data] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] 运行后得其和的近似值为 1.644934066848 例2 求 的和 程序2 s[n_]:=Sum[(-1)^k/k^2,{k,n}] d=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[d] N[Sum[(-1)^n/n^2,{n,1,Infinity}]] 图2 图3 运行后得其和的近似值为 -0.82246703342411321 例3 求幂级数 的和。 程序3 Sum[x^n/(n*3^n),{n,1,Infinity}] 运行后的结果 函数幂级数展开例4 写出函数f(x)=sinx的幂级数展开式，并利用图形考察幂级数部分和逼近函数的情况。 解： 幂级数展开必为： 即为Maclaurin级数 展开式为 故sinx可展开为 程序4 f[x_]:=Sin[x] g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}]; s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}] 程序4 f[x_]:=Sin[x] g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}]; s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}] Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange-{-1.1,1.1},PlotStyle-{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}] 运行后的图象 图4 图5 图6 图7 图8 结论1 从这些图可以比较清晰地看到幂级数展开式前n项部分和逼近函数的情况，这里n=9，在区间[-π ,π ]上幂级数与函数本身看起来已没有什么差异。我们再来看分别在闭区间[-π , π ]和 [-2π ,2π ]上在同一个坐标系中这些图象的情况 程序4 f[x_]:=Sin[x] g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}]; s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}] Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange-{-1.1,1.1},PlotStyle-{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}] t=Table[s[n,x],{n,1,9,2}]; Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}] Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi}] 运行后的图象 图9 图10 图11 结论2 从图中可看到，函数的幂级数展开式的前n项部分和函数逼近函数的程度，随着n的增大而提高。但对于确定n而言，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 傅立叶级数 自然界中许多现象是周期性重复的，例如，声波是空气粒子周期性振动而产生的，人们呼吸时肺部的运动和心脏的跳动也是周期性的，交流电也体现了周期变化。对自然界的这种周期变化现象可以用周期函数近似地描述。 在数学上也就是用三角多项式逼近函数的问题，傅立叶级数就是一种逼近的方法 以2π为周期的周期函数f(x)的傅立叶级数由下式所定义： 其中 例5 设周期为2π的周期函数f(x)在一个周期内的表达式为 试生成f(x)的傅立叶级数，并从图上观察该函数的部分和逼近f(x)的情况。 程序5 f[x_]:=Which[x0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x4Pi,0] a[n_]:=Integrate[Cos[n*t],{t,0,Pi}]/Pi b[n_]:=Integrate[Sin[n*t],{t,0,Pi}]/Pi s[x_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}] D