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第八章 非线性控制系统 Nonlinear Control System 内容提要 §8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统 §8.1 概述 典型非线性特性 非线性系统的运动特点 非线性系统的研究方法 三、非线性系统的研究方法 相平面法(Phase-plane technique) 适用于一阶、二阶系统 描述函数法(Describing function technique) 是一种等效线性化方法 计算机仿真(Computer simulation) 饱和非线性的描述函数为 0 x(t) X π 2 π π - φ 1 φ 1 ω t x(t)= Xsinwt 输出 y(t) k 输入 x(t) Δ 0 -Δ k π 2 π 0 φ 1 π - φ 1 y(t) ω t y(t) y1(t)= Y1sinwt (二)死区非线性 非线性的输出 ΔxBC ΔxCD ΔtCD ΔtAB ΔtBC t ΔxAB x A B C D x A B C D ΔxAB ΔxCD ΔxBC x . CD x . BC x . AB x . 相轨迹的斜率可表示为 x . x . = dx d f(x, ) x . － . x . + f (x, ) x . =0 在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足 x . =0 f (x, ) x . =0 §8.3 奇点和极限环 一、奇点(Singular point) 二、奇点的类型 只要 在奇点邻域内满足线性化条件，则系统方程可表示为： f (x, ) x . (1) 0＜x ＜1 jω σ 两个实部为负的共轭复根 系统的奇点为稳定焦点(Stable focus) x x . (2) 0＞x ＞-1 两个实部为正的共轭复根 jω σ 系统的奇点为不稳定焦点(Unstable focus) x x . (3) x ＞1 两个负实根 jω σ 系统的奇点为稳定节点 (Stable node) x x . (4) x ＜-1 两个正实根 σ jω 系统的奇点为不稳定节点(Unstable node) x x . (5) x ＝0 两个实部为零的共轭复根 jω σ 系统的奇点为中心点(Center) x x . 两个异号实根 jω σ (6) 系统的奇点为鞍点(Saddle point) x x . 三、极限环 极限环(limit cycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。 (1)稳定极限环 (2)不稳定极限环 极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。 x x . 极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。 x x . (3)半稳定极限环 极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。 x x x . x . 例8-3 分析如下系统的稳定性 . x . x . +0.5 +2x+x2=0 解： x . =0 f (x, ) x . =0 求得奇点 (0,0)和(-2,0) . x . x . +0.5 +(2+2xi)x=0 在(xi ,0)奇点附近，系统的线性化方程为 2 4 -2 2 4 -4 x x . 在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为 . x . x . +0.5 -2x=0 在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为 . x . x . +0.5 +2x=0 §8.4 非线性系统的相平面分析 一、继电型控制系统的分析 根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。 在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。 根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。 K s(Ts+1) +M -M m e c r 元件特性为： 当e＞0时,m = M;当e＜0时,m = -M.因此分界线为直线e = 0。 它把相平面分成两个线性区Ⅰ区、Ⅱ区 。 e Ⅰ e . Ⅱ A0 e Ⅰ e . Ⅱ A1 A2 在区域Ⅰ内 T + =-KM e . . e . 等倾线方程 ： e . -KM/T a+1/T = e0, m=M， 系统方程为： 在区域Ⅱ内 T + =KM e . . e . e0, m=-M 系统方程为： 与 T + =-KM e . . e . 其相平面图 对称于原点 比较, M -M Δ -Δ e m 若继电元件有滞环特性 在 ＞0时的