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第九章 方差分析及回归分析 关键词： 单因素试验 双因素试验 交互作用 一元线性回归 多元线性回归 课件结束! 输出各单元总和及因素水平总和： 松树数据的总和表 单元总和 B1 B2 B3 B4 水平总和 A1 98 100 105 94 397 A2 120 130 116 105 471 A3 75 84 102 94 355 水平总和 293 314 323 293 1223 1.04 0.84 9.45 F比 59 1380.1833 总和 18.2417 48 875.6000 误差 2.30 18.9333 6 113.6000 交互作用 2.80 15.3500 3 46.0500 因素B 3.19 172.4667 2 344.9333 因素A F值α=0.05 均方 自由度 平方和 方差来源 双因素方差分析表 进一步考查A因素不同水平的均值。注意到A因素的第二水平为最大：23.55，而第三水平的均值为最小：17.65，可以认为树种2的生长情况优于树种3。能够得出这个结论，得益于观测的等重复性。 然后再来看B因素的主效应，即在扣除松树种类的效应后，不同地区对树的胸径的影响。由方差分析表知， B因素的主效应不显著，即不同的地区对树的胸径没有显著影响。 最后来看AB因素的交互效应，即在扣除两种效应后，由不同树种和不同地区的结合而产生的对树的胸径的影响，这种影响可以解释为某些地区特别适合（或特别不适合）某个树种的生长。结果也不显著。 首先来看A因素主效应，即在扣除地区效应后， 松树的不同种类对树的胸径的影响。由方差分析表可以看出，A因素主效应是显著的，即松树的不同种类对树的胸径有显著影响。 ?（二）?? 双因素无重复试验的方差分析 因素B 因素A 分别检验假设 * * * * * * §1单因素试验的方差分析 例 假设某药物研究者为检验a,b两种化学物质的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法如下所述：他将一些患有某种癌的白鼠随机地分成三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而第三组则不作处理，作为对照。记第一组：注射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做处理。经过一段时间观察后，他得到寿命数据 （一）单因素试验 设第j组有 只老鼠寿命分别为 这是一个典型的最简单分组试验方案。 分组的依据为药物：a,b,无。 通常，分组的依据称为“因素”，因素的不同状态称为因素的“水平”。此例因素（药物）有三个水平：a,b,无。 只有一个因子，按因子的不同水平来分组的试验称为“单因素试验”。在试验中，对试验对象所观测记录的变量称为“响应变量”（例中的寿命） 一般地，对一个单因素试验，假设因素有s(s2)个水平，n个对象参与了试验。假定对应于因素第j个水平的组中有 个试验对象，响应变量数据为 通常假定 检验假设 假设等价于 （二）平方和分解 证明： n-1 总和 n-s 误差 s-1 因素A F比 均方 自由度 平方和 方差来源 单因素试验方差分析表 例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：(?=0.05) 药物x 治愈所需天数y 1 5，8，7，7，10，8 2 4，6，6，3，5，6 3 6，4，4，5，4，3 4 7，4，6，6，3，5 5 9，3，5，7，7，6 这里药物是因子，共有5个水平，这是一个单因素方差分析问题，要检验的假设是“所有药物的效果都没有差别”。 方 差 分 析 表 29 94.9667 总和 2.3334 25 58.5000 误差 3.90 9.1167 4 36.4667 因素A F比 均方 自由度 平方和 方差来源 未知参数的估计 §2 双因素试验的方差分析 例 假设某药物研究者为检验a,b两种化学物质的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法是：将一些患有某种癌的白鼠随机地分成三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而第三组不作处理，作为对照。记第一组：注射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做处理。经过一段时间观察后，得到寿命数据。在这个药物试验中，如果白鼠的性别有可能对其寿命有显著的影响。这时应该考虑将“性别”作为一个因素 ——“双因素试验”。 因素A：药物，三个水平；因素B：性别，二个水平； 两个因素共有2×3＝6种组合。 ?（一）?? 双因素等重复试验的方差分析 因素B 因素A 分别检验假设 双因素试验的方差分析表 总和 误差 交互作用 因素B 因素A F比 均方 自由度 平