第一章矢量分析.ppt

矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为 以坐标原点为起点, 指向P点的矢量r, 称为P点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中P点的位置矢量是 对任意的增量dρ , dφ , dz, P点位置沿 , , 方向的长度增量(长度元)分别为 它们同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉梅(G .Lame)系数, 分别为 与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 1 .5 .2 球面坐标系 图 1 -9 球面坐标系 变化范围是: 遵循右旋法则: 矢量A在球坐标系中可表示为 故度量系数分别为 球坐标中三个面积元和体积元分别为 1 .5 .3 三种坐标的变换及场论表示式 图 1 -10 三种坐标间的变换 例如, 表A -1第一列和第二列给出 由表A -1第一行和第二行得 这些表同样可用于矢量分量的变换。例如, 由表A -2第一列得 在柱坐标中三个长度元分别为dρ , ρ dφ和dz, 因而其算子相应地换为 球坐标长度元为dr , rdθ和r sinθdφ, 故其▽算子为 为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是 由上式和表A -1得 球坐标中 、 都是 和 的函数， 是 的函数，则得 例如, 柱坐标中矢量A的散度和旋度可表示为 例 1 .7 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离rl处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解 §1 .6 亥姆霍兹定理 1 .6 .1 散度和旋度的比较 1 .6 .2 亥姆霍兹定理 §1 .6 亥姆霍兹定理 1 .6 .1 散度和旋度的比较 (1) 矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 ; (2) 散度表示场中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 (3) 从散度公式(1 -22)知, 它取决于场分量Ax对x的偏导数和Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数, 所以, 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而由旋度公式(1 -30)看出, 它取决于Ax分量对y , z的偏导数及Ay , Az对与之垂直方向的坐标变量的偏导数, 所以, 旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。 1 .6 .2 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 简化的证明如下: ; 假设在无限空间中有二矢量函数F和G, 它们具有 相同的散度和旋度。令 对两边取散度, 得 因▽·F= ▽ ·G, 故 因▽ ×F= ▽ ×G, 故 由矢量恒等式▽ × ▽ φ=0知, 可令 同时, 一个既有散度又有旋度的一般矢量场可表示为一个无旋场Fd(有散度divergence)和一个无散场Fc(有旋度curl)之和: 对无旋场Fd来说, ▽×Fd=0, 但这个场的散度不会处处为零。 因为, 任何一个物理场必然有源来激发它, 若这个场的旋涡源和通量源都是零, 这个场就不会存在了。 因此无旋场必然对应于有散场, 并因▽×▽φ=0, 可令(负号是人为加的) 对于无散场Fc, ▽ ·Fc=0, 但是这个场的旋度不会处处为零, 理由同上。并因▽ ·(▽ ×A)=0, 可令 静电场的基本方程是 对于简单媒质, 电通量密度D和电场强度E的关系为D=εE, 因而式(1 -85)可写为 (1 -85) * §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理 1 .3 .1 环量 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 图 1 -5 矢量场的环量 1 .3 .2 旋度的定义和运算 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入如下定义, 称为旋度(curl或rotation): 可见, 矢量A的旋度是一个矢量