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拉格朗日插值函数 例一：二次单元 (1,0) (0,1) (1/2,1/2) 拉格朗日插值函数 例二：三次单元 (1,0) (0,1) (2/3,1/3) (1/3,2/3) 拉格朗日插值函数 (5)列出各节点的直线方程 根据形函数的特性 在j,k,l处保证等于0，在i点等于1，求出C 多项式插值-Hermite插值函数 不但取场变量在某点处的值，而且还取场变量的前几阶导数在节点处的值为未知量所构造的插值函数，称为几阶Hermite插值函数。对于二节点单元n阶导数有 1.利用变分法推导控制方程 原理回顾 取泛函的变分为零，有 欧拉方程为 物理意义是系统的势能取最小或内力功与外力功之差为零 1.利用变分法推导控制方程 边界条件 几何边界条件 若几何边界任意，则有自然边界条件 1.利用变分法推导控制方程 例、直梁受均布载荷作用 已知直梁的总势能为 即 代入欧拉方程，有 1.利用变分法推导控制方程 边界条件为 几何边界条件 如果能求出弹性结构的总势能，则可由最小势能原理获得其控制微分方程和边界条件 1.利用变分法推导控制方程 如果存在一个位移函数，即满足欧拉方程，又满足边界条件，则此位移函数就是问题的精确解； 实际操作中，可以不得到控制方程，而直接选择试探函数，使其满足变分为零就可以使问题得到解答； 实际应用中，往往只让位移函数满足其中部分等式，剩余等式近似满足，这就是利用变分问题直接近似计算的理论依据 2.里兹法 该方法假设一位移函数，只令其先满足位移边界条件，然后通过 建立方程，求解方程组，得到的结果近似满足力边界条件和平衡方程 具体过程如下 2.里兹法 若能找到的近似解，由一组线性无关的函数 的线性组合表示 其中Φ1、Φ2、Φ3... 为一族坐标函数序列，满足如下条件 1、Φi∈[x1,x2]且满足相应的几何边界条件； 2、互相线性无关； 3、是完备的，即对于任何y∈[x1,x2]，和ε0，存在正整数N和常数组ai，使得|y-ΣΦiai|ε，其中i=1,2,...,N 2.里兹法 1958年W.Ritz提出了解y由一组带有待定参数的试探函数来表示，则泛函由试探函数和待定参数表示泛函。 若y=ΣΦiai是问题的解，则δΠ =0，泛函的变分为0，相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分 2.里兹法 若δai=0，则有 得到一组n个方程 这是与待定参数?a的个数相等的方程组，可以求解?a 3.伽辽金法 在里兹法的基础上发展起来的，其特点是要求试探函数不仅满足几何边界条件，还要满足自然边界条件 问题解仍可由n个待定参数与试探函数的线性表示 那么 3.伽辽金法 泛函的变分 由于δai≠0，则 3.伽辽金法 试探函数是在整个求解域上定义的，必须满足边界条件。对于复杂物理问题，寻找实验函数比较困难，因此限制了使用。 例如对于受均布荷载作用的简支直梁 q 总势能 3.伽辽金法 试探函数1 试探函数2 分别按步骤求解直梁中点的挠度 精确解为 试探函数1仅满足几何边界条件，而不满足自然边界条件；试探函数2则全部满足。 4.有限元法 不同点： 里兹法：试探函数定义在全部求解式上，满足边界条件 有限元：试探函数在单元内，无需满足边界条件。 求解步骤 将求解域离散或单元 假定解在单元内部按某种规律变化，造插值函数 推导单元方程 系统方程的组建 引入边界条件 求解 返回处理 重点是插值函数选取和单元矩阵的建立 4.有限元法 1.单元离散 2.插值函数# 3.单元刚度矩阵及载荷列向量的建立# 4.整体刚度矩阵及载荷列向量 5.虚位移原理的变分法 4.有限元法 1.单元离散 用最小势能原理，由于能量是可以分区域相叠加的，在最小势能原理中涉及的泛函，其自变量函数（宗量）和它的导数的最高幂数为二次，称为二次泛函，是积分方程，可以分区域相加 如果 则变分 2.插值函数 有限元的基本思想是分片近似，对于复杂问题的解，是通过单元剖分与分片近似得到的。 其中一个重要步骤是在每个单元内选择一个简单的近似函数。这种用以表示单元内部解的性态的近似函数称为插值函数。 一般采用多项式插值函数。因为： 1较易进行单元方程的列式等计算即微分与积分 2增加多项式的阶次可以改进计算结果。 这里重点介绍一维插值函数。 4.有限元法 多项式插值 插值多项式 多项式插值 插值：要求近似函数y(x)与被近似的函数f(x)在某些点处具有相同的函数值，甚至直到某阶导数值。在有限元中，取均变量的节点值（包括其导数值）为未知量。 自由度：场变量的节点值，称为节点自由度。选择?a参数的个数等于单元节点自由度数。单元近似函数可以用节点上自由度表示。令?ye为单元节点值向量。 多项式插值 1.整体坐标下，一维简单单元场变量的线