第四节多元复合函数的求导法则.pptVIP

第四节 多元复合函数 的求导法则 一 链式法则 二 全微分形式不变性 三 小结 一、链式法则 解3: 解2:用代入法 二、全微分形式不变性 解2:用代入法 三内容小结 * 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 第九章 复习：一元复合函数求导的链式法则 y —— x —— t 推广:多元复合函数求导的链式法则 1.中间变量均为一元函数; 2.中间变量均为多元函数; 3.中间变量既有一元函数又有多元函数. 复合函数的中间变量均为一元函数的 证 中间变量为一元函数 的情形. 定理1 可用下列公式计算: 具有连续偏导数, 函数z = f (u, v)在对应点(u, v) 情形1 先研究 则 复合函数 在对应点t可导, 且其导数 全导数 情形. 全导数计算公式 可微 由于函数z = f (u, v)在点(u, v) 有连续偏导数 复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 导数 变量树图 三个中间变量 称为 全导数 (又称链导公式). 例1-1 解2 例1 解1 用代入法 z=f(t) 复合函数为 则复合函数 且可用下列公式 具有连续偏导数, 的情 对 x 和 y 的偏导数, 且函数z = f (u, v)在对应点(u, v) 在对应点(x, y)的两个偏导数存在, 情形2 复合函数的中间变量均为多元函数的 情形. 先研究 形. 两个中间变量 两个自变量 计算: 都在点(x, y)具有 链式法则如图示 (x, y)处具有对x和y的偏导数, 中间变量多于两个的情形,即 类似地再推广, 复合函数 在对应点(x, y)的两个 偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 都在点 项数 问: 每一项 中间变量 函数对中间变量的偏导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数). 的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构 解1: 情形3 复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形： 变量关系图: x y v u z y 例3 解 用代入法? 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 注意:防止记号的混淆 例4 解 用代入法? 解(1) 可看成是由 复合而成的, 所以 (2) 设 (2) (1) 例5 例6 解 例7 解 1989年研究生考题,计算, 5分 解 其中f (t)二阶 可导, g (u, v)有连续二阶导数, 例8 例9 解 由直角坐标与极坐标间的关系式 例10 解 复合而成,应用复合函数求导法则,得 两式平方后相加,得 再求二阶偏导数,得 同理可得 两式相加,得 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变 的函数，它的全微分形式是一样的. 解1: