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三十九章 猜想求证型问题 23．（2013滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论． 连接AF并延长交BC于点G△ADF≌△GCF，容易看出EF为△ABG的中位线，所以，EF=（AD+BC）解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下： 连接AF并延长交BC于点G． ∵AD∥BC∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中， ， ∴△ADF≌△GCF， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴， 即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）． ．．； ⑵ 如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由； ⑶ 如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（2）图2中结论PR+PQ=仍成立．证明：连接BP，过C点作CKBD于点K．四边形ABCD为矩形，BCD=90°，又CD=AB=3，BC=4，BD= ∵S△BCD=BC?CD=BD?CK， 3×4=5CK，CK= ∵S△BCE=BE?CK，S△BEP=PR?BE，SBCP= PQ?BC，且SBCE=S△BEP+S△BCP， BE?CK=PR?BE+PQ?BC 又BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ= （3）图3中的结论是PR-PQ=．仍然成立，理由见解析；⑶图（丙）中的结论是PR-PQ=．本题考查了矩形的性质及勾股定理，关键是掌握好矩形的性质．．16．（2013遵义）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　　． 解析： 根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．解：∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，… 分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，… ∴第n个数是． 故答案为：．答案： 点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键． 问题情境 如图，在x轴上有两点A（m,0）,. 特例探究 填空： 当m=1,n=2时，=____,=______. 当m=3,n=5时，=_____,=______. 归纳证明 对任意m, n（nm0）与的大小关系，并证明你的猜想 拓展应用. 若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2（a0）”与的大小关系. 连接EF， AE．当时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状． 【解析】【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特殊情况，因此以【拓展】（1）为例说明前三小问的思路：已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．最后一小题也比较简单：总结前面的结论，能得出EF∥x轴的结论，那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系，能判断出EF、OA的比例关系，进而得出m、n的关系，再对四边形OFEA的形状进行判定． 【答案】 解：特例探究 当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）； 则：直线OC的解析式为：y=x；直线OD解析式为：y=2x； ∴F（1，2）、E（2，2）； 即． 同理：当m=3，n=5时，． 归纳证明 猜想： 证明：则，C， D OD的解析式为y=nx OC的解析式为y=mx E在OC上，横坐标为n， 当x=n时， F在OD上，横坐标为m 当x=m时， ∴ 拓展应用 设 则 OD的解析式为 当x=n时，；当x=m时． ∴ (2)∵四边形OFEB是直角梯形，EF=n-m,OB=n, BE=mn 又 ∴ 可得， EF=m, OA=m ∴EF‖OA且EF=OA. ∴四边形OFEA是平行四边形． 【点评】本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识，综合性较强，本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键． 28．．．． ∴点G坐标为（3，4 -） ⑵设：直线EF的解析式是 ∵在Rt△BFG中，cos∠BFG== ∴∠BFG=600，∴∠AFE=∠EFG=600 ∴AE=AFtan∠AFE=2tan600=2 ∴E点的坐标是（0，）