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互反多项式 定义 设GF(p)上的m次多项式 则 称为互反多项式 例： 性质 若α为f(x)的根，则α-1为f*(x)的根 若f(x)既约，则f*(x)也为既约；反之亦然 若f(x)为本原多项式，则f*(x)也为本原多项式；反之亦然 多项式的周期 定义 设f(x) ∈Fp[x], f(0) ≠0（即x !| f(x) ），则f(x)|(xl-1)的最小正整数l，称为f(x)的周期（或指数），记为p(f) 性质 f(x)的周期l是以f(x)为模所构成多项式剩余类环中乘法群内元素 之级 f(x) ∈Fp[x], f(0) ≠0，则f(x)|(xl-1)的充要条件是p(f)|l 多项式(xm-1)|(xn-1)的充要条件是m|n 若f(x)是Fp[x]中m次既约多项式，则f(x)之周期p(f)等于f(x)在GF(pm)中的根的级 多项式的周期 性质(cont.) GF(p)上多项式f(x)的标准分解式若为 则f(x)的周期 式中 是≥x的最小整数 多项式的周期 Example GF(2)上的多项式 因为 以5级元素为根 以15级元素为根 有限域的代数结构 有限域的阶必为其特征（素数）之幂 设f(x)为p阶有限域GF(p)上的一个d次既约多项式，则多项式剩余类集合Fp[x]/f(x)构成pd阶有限域GF(pd) 。即GF(pd)是GF(p)的扩域，且f(x)在GF(pd)内有根 GF(pr)含有子域GF(ps)的充要条件是s|r 若β∈ GF(pr) ，则β∈ GF(ps)中的充要条件是 。特别是在任何域中若 ，则β是0或1 p阶有限域上的每一个d次首一既约多项式，皆能整除 ，只要d|m 最小扩域 系数取自GF(p)上的多项式 =所有次数除尽m的GF(p)上的首一既约多项式之积 如：x4-x=x(x+1)(x2+x+1) 若f(x)为GF(p)上的m次既约多项式，且m|d，则任何pd阶有限域必含有f(x)的全部根 若d=m，则m次首一既约多项式f(x)的全部根在GF(pm)中，称GF(pm)为f(x)的包含所有根的最小扩域，称为f(x)的分裂域或分解域 例：GF(2)上的既约多项式 必在GF(24)上完全分裂，但不能在任何中间域GF(22)完全分裂 既约多项式的数目 GF(p)上m次既约多项式的数目是 式中 为Mobius函数 例： GF(2)上3次既约多项式的数目 分别为 同构 m重、多项式剩余类以及α多项式之间均同构，都可用来表示pm阶有限域 因式分解 分解 注意到22=1(mod 3) ?Q(3)(x)既约 24=1(mod 5) ?Q(5)(x)既约 24=1(mod 15) ?Q(15)(x)非既约，进一步分解为（待定系数法） 待定系数法 Q(15)(x)的既约因式必为 x4+Ax3+Bx2+Cx+1 1不是15级元素?A+B+C=1 1) A=B=C=1? x4+x3+x2+x+1= Q(5)(x); rejected 2) A、B、C中只有1个为1 B=1? x4+x2+1=(x2+x1+1)2; rejected A=1? x4+x3+1; accepted C=1? x4+x+1; accepted Remark: x4+x3+1， x4+x+1为互反多项式 因此 因式分解 均以15级元素为根。因此，若以此多项式作剩余类，就能得到24阶有限域GF(24)。若以 的根α表示，则上的15个非0元素如下所示 因式分解 把x9-1分解为GF(2)上的既约因式乘积 找9级元素的最小多项式，注意到26=1(mod 9); 故9级元素的最小多项式的次数为6，因此9级元素必在GF(26)上。设α为GF(26)上的本原域元素α63=1，则(α7)9=1 ， α7为9级元素。因此 故 * State Key Laboratory of Integrated Services Networks Chapter 4 有限域 内容 近世代数基本知识复习 子环与理想 循环群 有限域的乘法结构 有限域的加法结构