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有限元数值求解微分方程原理及其约束条件的处理方法xx
1）总结： a）本微课中的对约束条件的处理适用 于如下4个式子的两两任意组合。 4 总结与思考 b）本微课中的对约束条件的处理方 法的理论依据是微分方程对应的 变分形式。 伽辽金变分方法 2)思考：a）微分方程的第三类约束条件是如 何产生？它有何理论意义或含义？ b）讨论与作业：下两点边值问题的约 束条件如何处理，并求其数值解。 *附有相关的Matlab计算程序可用 谢谢大家 欢迎交流 E-mail：253717396@ * 有限元数值求解微分方程原理 及其约束条件的处理方法 课程： 计算机在材料 科学中的应用 单位：湖北工业大学 2013年2月 微课内容摘要 在讲述有限元数值求解微分方程过程原理基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点提出了一种可行的处理方法。该方法简洁清晰，易学易用，对学习理解有限元法具有启发性。同时，这种方法具有可靠的依据，加以引申可拓展有限元对约束条件的适定范围，其理论推导值得深思。 1.1 一般二阶线性微分方程形式 1、预备知识 例1: 具体的二阶线性微分方程及约束条件改写 1.2 最简积分型泛函 1、预备知识 例2： 1、预备知识 1.2 最简积分型泛函 有限元法数值求解微分方程过程原理 伽辽金变分方法 2、泛函方程近似求解 近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。 具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一维函数坐标确定一个基函数 ，同时每个基函数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛函方程的近似解。 随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的精度提高。 2.1 近似求解思想 如左图所示，用4维函数空间的4个基函数的线性组合去近似更高维（或无限维）的函数 图1 4维函数空间选取的4 个基函数 因为每个基函数满足约束条件，所以连续的Galerkin变分形式可不必考虑约束条件。 例4：两点边值问题： 暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问题对应的等价泛函形式： 2.2泛函方程近似求解实例 微分方程有限元法数值求解过程原理 3 有限元法求解微分方程及约束条件处理 x x x x x 3.1 限元法思想 将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。 1.0 2 1.25 1.75 1.5 1.75 1.25 1.0 2.0 1.5 y(1) y(1.25) y(1.5) y(1.75) y(2) Y X · · · · · 叠加形成 “总体刚度矩阵” 和 “总体截荷向量”： 微分方程有限元法数值求解过程原理 3.2、微分方程约束条件的处理 例4（续）两点边值问题： 现考虑边界两点约束条件，即对总体刚度矩阵与截荷矩阵附加约束。但先要对所给的初始边界条件改写，使之与第三类约束条件在形式上对应相符： ***初始及边界条件处理技巧 *
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