曲边梯形的面积.pptVIP

思考： 如果取小矩形的高为小区间右端点 的纵坐标，所有这些小矩形的面积 和是否趋向于曲边三角形的面积 呢？ 例题分析： 例 1：利用定义计算定积分 例2、利用定积分的几何意义求 例3、利用定积分的定义证明：如果f(x)、g(x)同在区间 思考：如何理解 小结 ： 1、曲边梯形的面积 2、化曲为直的数学思想 3、定积分的定义 课后巩固练习： 课本39页A组、B组：1 * * 曲边梯形的面积 一,学习目标: 1、掌握曲边梯形面积的求法. 2、深刻理解化曲为直的思想. 3、初步认识定积分的概念. 二,重点: 1、曲边梯形的面积 2、化曲为直的思想 3、定积分的概念 三,难点: 化曲为直的思想及定积分概念 这些图形的面积该怎样计算？ 引入： 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。 O x y a b y=f (x) 一. 求曲边梯形的面积 x=a x=b y = f(x) b a x y O A1 A ? A1. 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 思考： A ? A1+ A2 用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A ? A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A3 A4 y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A1 Ai An —— 以直代曲,无限逼近 例1．求曲线y=x2与直线x=1，y=0所围成的区域的面积。 解：将区间[0，1]等分成n个小区间， 每个小区间的长度为 (i=1、2、3……n) 解：将区间[0，1]等分成n个小区间， 每个小区间的长度为 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间 左端点的纵坐标 为高，△x= 为底作小矩形， 于是图中曲线之下小矩形面积依次为 所有这些小矩形的面积的和为 由此得到S= 从图形上看，当n越来越大时，划分的越来越细，阴影部分面积与曲边梯形的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将极限值 视为此曲边三角形的面积。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。 解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx， 将[0，b] n等分，记△x= ， 分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,……，xn－1= ，xn=b， 当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功△W≈kxi·△x= 则从0到b所做的总功W近似地等于 当n→+∞时，上式右端趋近于 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为 以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题. 思考、如果在分段 取所用的力为xi+1所做的功是多少？ 1. 曲边三角形或梯形的面积 S= 2.克服弹簧拉力的变力所做的功 W= 类似地问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了解决这类问题的一般方法。求函数的定积分。 一般函数定积分的定义 设函数f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点 把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内各取一点， 作和式In= 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分的上限和