曲线的弧长.pptVIP

* * §1.2 曲线的弧长 一．E3 中正则曲线段的长度 二．弧长和弧长参数 粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的； 勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则． 换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学． 下面从几何学的角度给出长度概念及其解释． 一．E3 中正则曲线段的长度 给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz ．设 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t?[a, b] 是正则曲线上的一个弧段．任取参数区间的一个划分 Dn: t0 ? a t1 … tn = b ， 对应有曲线上的分点 Pj: r(tj) , j = 0, 1, …, n ． 相应折线的长度确定为 一．E3 中正则曲线段的长度 由 Taylor 展开式，可写 r(tj) ? r(tj?1) ? (Dtj) r ?(tj?1) + [(Dtj)2/2?]R2j , 其中余项 R2j = (x?(x1j), y?(x2j), z?(x3j))?r ?(tj?1) , 当 Dtj ? tj ? tj?1?0 . 此时 一．E3 中正则曲线段的长度 R2j = (x?(x1j), y?(x2j), z?(x3j))?r ?(tj?1) , 当 Dtj ? tj ? tj?1?0 . 记 ??Dn?? ? max{Dtj ? j = 0, 1, …, n } ， xM ? max{?x?(t)? ? t?[a, b]} ，yM ? max{?y?(t)? ? t?[a, b]} ， zM ? max{?z?(t)? ? t?[a, b]} ， 则 一．E3 中正则曲线段的长度 R2j = (x?(x1j), y?(x2j), z?(x3j))?r ?(tj?1) , 当 Dtj ? tj ? tj?1?0 . 按照 Riemann 积分意义，此即证得下述结论． 一．E3 中正则曲线段的长度 定理1　正则曲线上的弧段 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t?[a, b] 是可求长的，且长度取值为 L(C) ? ?ab ?r ?(t)? dt ． “长度”为几何不变量． 它不依赖于正则参数的选取； 它不依赖于 E3 中Descartes直角坐标系的选取． 分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低的．关于降低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本课程中所关心的内容． 二．弧长和弧长参数 定义　对正则曲线 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t?(a, b) ，任取 t0?(a, b) ，称 为曲线 C 上的从参数 t0 到 t 的有向弧长，简称弧长； 称 ds ? ?r?(t)? dt 为曲线 C 上的有向弧长元素，简称弧长元素；称函数　s(t) ? s(t0) 为曲线 C 上以 r(t0) 为起点的有向弧长参数函数，简称弧长参数． 同讨论长度一样，易证（习题） 弧长元素在保向正则参数变换下不变，且在刚体运动下不变； 弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长． 二．弧长和弧长参数 当一般正则参数转换为相应的弧长参数时，有 单位切向作为保向正则参数变换下的不变量，用弧长参数表示以及计算，一定有其意义． 一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同时，能突出所讨论对象的几何意义． 二．弧长和弧长参数 弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果． 定理2　对正则曲线 C: r (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t?(a, b) ， ①　总可以弧长参数化； ②　参数 t 成为弧长参数的充要条件为 ?r ?(t)? ? 1 , ?t?(a, b) ． 约定：以后在不容易混淆时，通常以 s 表示曲线的弧长参数，通常以 ds 表示曲线的弧长元素． 例　圆柱螺线参数化为 r(t) ? (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , t?R ，其中三个常数 a 0 , w ? 0 和 v ? 0 ．试求其从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度． 解：r?(t) = (?aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) ， *