方阵的逆矩阵.pptVIP

单位阵 I : 数 = = 线 性 代 * 1. 3 方阵的逆矩阵 1.3 方阵的逆阵 定义1.7(逆矩阵) 对角阵: I -1 = I 1.3 方阵的逆阵 若方阵A为可逆矩阵,那么A的逆阵是否只有一个呢? 定理1 若方阵A可逆,则A的逆阵唯一 证: 设B,C都为A的逆矩阵,则由逆矩阵的定义可得: B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C 可逆矩阵也称为非退化矩阵(或非奇异矩阵),若方阵A不存在逆矩阵,则称它为退化矩阵(或奇异矩阵) 1.3 方阵的逆阵 1.3 方阵的逆阵 定理2 (1)若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A; (2)若k(≠0)∈R,A可逆,则kA也可逆,且(kA)-1=k-1A-1; (3)若A,B为同阶可逆阵,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1; (4)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T; 1.3 方阵的逆阵 例 证: 例 证: 1.3 方阵的逆阵 例 设A为n阶方阵且满足 证明A可逆,并求 例 证 (1) (2) 所以，A+I 和A-2I不同时可逆. 为什么？ (1) A和I - A都可逆，并求其逆矩阵； 例 设方阵A满足A2 - A - 2I =O, 证明： (2) A+I 和A-2I不同时可逆. 例 证 1.3 方阵的逆阵 例 若A,B,C是同阶矩阵,且A可逆,证明下列结论中(1),(3)成立,举例说明(2),(4)不成立。 （1）若 AB=AC,则 B=C （2）若 AB=CB,则 A=C （3）若 AB=0, 则 B=0 （4）若 BC=0, 则 B=0 解： 1.3 方阵的逆阵