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第2章 方程求根 方程求根 非线性方程 的求解是工程上的常见问题. 1 二分法 2 简单迭代法 3 牛顿法 2.1二分法 求非线性方程 确定方程的有根区间 计算根的近似值 的根的方法 分为两步： 首先确定有限区间：依据零点定理。 设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。 等步长扫描法求有根区间 用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ， 若 则扫描成功；否则令 ，继续上述方法，直到成 功。如果 则扫描失败。再将h 缩小， 继续以上步骤。 等步长扫描算法 算法：（求方程 的有根区间） (1) 输入 ； (2) ； (3) ，若 输出失败信息，停机。 (4)若 。输出 ，已算出方程的一个根，停机。 二分法 二分法的基本思想是把区间[a，b]二等分。 分点 计算函数值 二分法 如果 则求得实根 若 则取 否则取 二分法 对 重复上述做法得 且 二分法 设 所求的根为 ， 则 即 取 为 的近似解 二分法 求方程f(x)=0的根的二分法算法 求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法 求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法 二分法例题 用二分法求方程 在[1，1.5]内的一个实根，要求误差不超过0.005. 解：采用事前估计法由（2.2）估算出k=6,因此只需要二分六次就能获得满足精度要求的近似解.计算结果列表如下： 例题 例1 设方程 解：取h=0.1,扫描得： 又 即 在 有唯一根。 二分法例子 k 0 1．0000 1．5000 1．2500 - 1 1．2500 1．5000 1．3750 + 2 1．2500 1．3750 1．3125 - 3 1．3125 1．3750 1．3438 + 4 1．3125 1．3438 1．3281 + 5 1．3125 1．3281 1．3203 - 6 1．3203 1．3281 1．3242 - 2.2迭代法---逐次逼近法 迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如： 迭代法---逐次逼近法 逐次逼近法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得 逐次逼近法 将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生的迭代序列 。这种方法称为逐次逼近法。 迭代法---逐次逼近法 迭代法及收敛性 若 收敛，即 则得 是 的一个根 迭代法的几何意义 交点的横坐标 y=x 例题 例2. 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3……. 计算结果如下: 例题 精确到小数点后五位 例题 例3. 如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列 迭代法的收敛性 定理2.1（全局收敛定理） 设迭代函数 在闭区间