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应用统计第1章 第9章 方差分析 本章教学目标 了解方差分析可以解决那些实际问题； 了解应用方差分析的基本条件； 掌握方差分析的基本概念及其分析方法； 正确使用 Excel 软件求解单因素和双因素方差分析问题及其运行输出结果分析. 本章主要内容 §9.1 方差分析概述 §9.2 单因素方差分析 §9.3 双因素方差分析 本章重点：考虑交互作用的双因素方差分析 §9.1 方差分析概述 在生产经营管理过程中，通常有很多因素会影响产品的质量、产量、销售量等指标。如农作物的产量受品种、肥料、气候、雨水、光照、土壤、播种量等众多因素的影响；产品销售量受品牌、质量、价格、促销手段、竞争产品、顾客偏好、季节、居民收入水平等众多因素的影响；化工产品的得率受温度、压力、催化剂、原料配比等因素的影响。 因此需要了解： (1)哪些因素会对所研究的指标产生显著影响； (2)这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。 方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装食品各进行了4 个月的试验。 试验结果如下： 影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温度和催化剂种类。 为研究产品的最优生产工艺，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下： 化工产品得率试验(得率：%) 案例 2 要研究的问题 ⑴温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使得率最高? ⑵催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？ ⑶温度和催化剂的不同组合是否对产品得率有显著影响？ 如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得率最高？ 记 A, B, C ··· 为试验中状态发生变化的因素， 称因素在试验中所取的不同状态为水平。 设因素 A 有 a 个水平，记为 A1, A2, ···, Aa；因素 B 有 b个水平，记为 B1, B2, ···, Bb 等。 若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验； 若有两个变动的因素，就称为双因素试验； 若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。 二.方差分析的基本假设 设因素 A 在水平 Ai 下的某项指标为总体 Xi，则假定 Xi ～N( ?i, ? 2 )， Xi 相互独立 就是要检验原假设 H0：?1 = ?2 = ··· = ?a 是否成立。 若拒绝 H0，就说明因素 A 对试验结果有显著影响， 进一步还应确定使效果达到最佳的水平。 若不能拒绝 H0，则说明因素 A 对该项指标无显著影响，试验结果中的差异主要是由其他未加控制的因素和试验误差所引起的。 虽然可以用两两 t 检验法来检验各 ?i 间是否存在显著差异，但 t 检验无法检验多个因素间的交互效应，而这正是方差分析要解决的主要问题。 §9.2 单因子方差分析 一.基本概念 记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 xij ，则 xij = ?i + ?ij i = 1, 2,···, a；j = 1, 2,···, ni ?ij ～ N(0, ? 2 )，且相互独立 其中 ?ij 是由各种无法控制的因素引起的随机误差。 上式说明，试验结果 xij 受到两方面的影响： ⑴因素 A 的水平 Ai 的均值 ?i ⑵随机误差 ?ij 为一般平均。 称?i = ?i - ? ； i = 1, 2, ···, a 2. 偏差平方和的分解 故在给定水平 ?下，若 F F? (a-1, N-a) 若 F F0.001(a-1, N-a)，称因素 A 的作用极高度显著； 若 F F0.01(a-1, N-a)，称因素 A 的作用高度显著； 若 F0.01 (a-1, N-a) F F0.05(a-1, N-a)，称因素 A 的作用一般显著； 若 F F0.05(a-1, N-a)，则认为因素 A 的作用不显著。 2. 因素 A 的各水平间是否都存在显著差异？ 这可以通过对各 ?i 进行两两 t 检验来确定。 如果