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方差与标准差 一、关于极差与平均数 1. 何谓一组数据的极差? 极差反映了这组 数据哪方面的特征? 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差。 极差反映的是这组数据的变化范围或变化幅度，也称离散程度 极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。 甲，乙两名射击手都很优秀，现只能挑选一名射击手参加比赛。 若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？ 教练的烦恼 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 6 8 8 8 10 乙命中环数 10 6 10 6 8 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： ⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； 教练的烦恼 =8（环） =8（环） 甲 x 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 6 8 8 8 10 乙命中环数 10 6 10 6 8 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 成绩（环） 射击次序 ⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； ⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？ 教练的烦恼 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和： 乙射击成绩与平均成绩的偏差的和： （6-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（10-8）= 0 （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）= 0 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 6 8 8 8 10 乙命中环数 10 6 10 6 8 （10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2= （6-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2= 甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 找到啦！有区别了！ 8 16 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 6 8 8 8 10 乙命中环数 10 6 10 6 8 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性： 设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ，那么我们用它们的平均数，即用 S2= [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ] 1 n 二、关于方差 我们采用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性， 即 叫做这组数据的方差。 方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 6 8 8 8 10 乙命中环数 10 6 10 6 8 试一试计算甲，乙两组数据的方差 运用方差的解决问题时要注意： 1.方差是衡量数据稳定性的一个统计量； 2.要求某组数据的方差，要先求数据的平均数； 3.方差的单位是所给数据单位的平方； 4.方差越大，波动越大，越不稳定； 方差越小，波动越小，越稳定。 例： 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16； 问：哪种小麦长得比较整齐？ X甲＝ （ cm） X乙＝ （cm） S2甲＝ （cm2） S2乙＝ （cm2） 因为 S2甲 S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。 解: 三、关于标准差 标准差：为了使得与数据单位一致，可用方差的算术平方根来表示。即： 特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据都没有偏差，即每个数都一样 。 一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据就越稳定。 示例： 1. 若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那么下列说法正确的是（ ） A.甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大 B.甲组数据比乙组