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离散数学 计 算 机 科 学 系 授课教师：王静 引 言 1 为什么学习离散数学？ 离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术专业的核心、骨干课程。 离散数学是什么课？ 它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。 离散数学的主要内容是什么？ 内容包含：数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论等。 离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。 引 言 2 学习该课程的目的： 一方面，它给后继课，如数据结构、编译系统、操作系统、数据库原理、软件工程与方法学、计算机网络和人工智能等，提供必要的数学基础； 另一方面，通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，为以后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数学基础。 引 言 3 教学要求： 通过该课程的学习，学生应当了解并掌握计算机科学中普遍采用的离散数学中的一些基本概念、基本思想、基本方法。 自学要求： 通过反复看书及做课后习题，来加深对该课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自己的抽象思维和逻辑推理能力。 第一章 命题逻辑 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个演算。 第一章 命题逻辑 数理逻辑的创始人是Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，他把数学引入了形式逻辑。其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机科学等密切关联。 1931年Godel不完全性定理的提出，以及递归函数可计算性的引入，促使了1936年tUring机的产生，十年后，第一台电子计算机问世。 第一章 命题逻辑 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热门的研究领域。 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形式化的介绍，将不涉及任何公理系统。 1.1 命题符号化及联结词 基本概念 命题：能够判断真假的陈述句。 命题的真值：命题的判断结果。真值只取 两个值： 真、假。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断命题的两个步骤： 1、是否为陈述句； 2、是否有确定的、唯一的真值。 1.1 命题符号化及联结词 例1：判断下列句子是否为命题。 1、雪是白色的。 2、2是偶数且3也是偶数。 3、陈胜吴广起义那天杭州下雨。 4、大于2的偶数均可分解为两个质数的和（哥德巴赫猜想）。 5、真舒服啊！ 6、别的星球上有生物存在。 7、您去学校吗？ 8、x+y0 9、我正在说谎。 10、1+101=110 1.1 命题符号化及联结词 命题及其真值的抽象化 在本书中，用小写英文字母p,q,r,…p1,p2,p3…等表示命题，用“1”、“0”分别表示真值的真、假。 如： p：罗纳尔多是球星。 q：5是负数。 p3：明天天气晴。 皆为符号化的命题，其真值依次为1、0、1或0。 1.1 命题符号化及联结词 命题的分类 简单/原子命题：由不能再分解为更简单的陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。 例2： 1）3不是偶数。 2）2是素数和偶数。 3）林芳学过英语或日语。 1.1 命题符号化及联结词 命题常项或常元：真值是唯一确定的 即：0，1 命题变项或变元：真值是不确定的 即：p，q，r 1.1 命题符号化及联结词 1.1 命题符号化及联结词 常用联结词 1.否定词 设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作? p，符号?称为否定联结词。 运算规则： 1.1 命题符号化及联结词 2.合取词 设p,q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p ∧ q，符号∧称为合取联结词。 运算规则： 1.1 命题符号化及联结词 合取运算