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定义 设（ ）为总体X的一个样本， 为不含任何未知参数的函数，则 称 为样本（ ）的一个统 计量。统计量是随机变量。 例2 设总体X～N(? , 42)， X1，X2，…，X10是n=10简单随机样本， S2为样本方差，已知P{S2?}=0.1,求? . 解 因为n=10，n-1=9，? 2=42， 所以 ～?2(9). 又 P{S2 ?}= =0.1， 所以 ≈ 查表 14.684. 故 ? ≈ 14.684x ≈26.105 点估计法的基本思想 设总体X的分布依赖于参数?1, ?2, …, ?k， 而X1，X2，…，Xn是总体X的一个样本， 为样本观察值 已知： 方法： 以统计量的观察值 作为 的估计值 矩估计法、最(极)大似然法 构造统计量 作为 的估计量 矩估计法 基本思想：用样本矩作为总体矩的估计量 总体m阶原点矩： 样本m阶原点矩： 设总体X的分布中含有k个待估参数?1, ?2, …, ?k 为总体 的样本 令 (m=1,2, …,k) (m=1,2, …,k) 如果 是 的矩估计量，而 是 的连续 函数，则 是 的矩估计量。 假定有唯一的一组解 则将 作为 矩估计量 矩估计量的观察值为未知参数的矩估计值 例1 为总体 的样本， 设 已知 的概率分布为 试用矩估计法估计总体参数 解： 令 即： 解得 因为 故 为参数 的矩估计量。 求解方法： （2）取自然对数 其解 即为参数?的极大似然估计值。 （3）令 （1）构造似然函数 若总体的密度函数中有多个参数?1，?2，…，?n，则将 第（3）步改为 解方程组即可。 最(极)大似然估计法 解 似然函数为 故 得 故最大似然估计值 例1 设总体 即X的概率密度为 求 的最大似然估计值。 令 练习： 为总体 的样本， 设 已知 的概率分布为 试用最大似然法估计总体参数 解： 似然函数为 故 得 故最大似然估计值 令 练习：设(X1，X2，…，Xn)为总体X的样本 已知X的分布律为： k=0,1,…,m 0 p1 求参数p的最大似然估计量。 解： 似然函数为 故 得 令 点估计的评价标准 ——无偏性、有效性、一致性 无偏估计量：设 是未知参数 的估计量，如果 则称 是 的无偏估计量。 例1： 设样本 是取自数学期望为 的总体 的样本，则 是 的无偏 估计量。 例2： 设样本 是取自总体 的样本 的均值 未知，则统计量 是 的无偏 估计量，其中 为常数，且 。 例3：设总体的k阶矩存在，则样本的k阶矩 是总体k 阶矩的无偏估计量。 例4：设 是来自总体的一个样本， 是 的无偏估计量，而样本二阶中心矩 且 未知， 则样本方差 不是 的无偏估计量 有 效 性 设 、 为未知参数 的两个无偏估计量，若 则称 比 有效。 * 总体与个体 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或 母体，而组成总体的每个元素称为个体。 在应用上，总体指研究对象的某个(或几个)数量指标 X的所有可能取值的全体，指标X的每一个取值称为个体。 例如：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的 全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。 样本 若随机变量 相互独立，且每 个 与总体X有相同的分布， 则称 为总体X的一个样本，n称 为样本容量， 所有可能不同取 值的集合称为