数学物理方法第九章.pptVIP

欧拉方程的算子解法: 例1. 例2. 例3. 得通解为 思考: 如何解下述微分方程 代入方程 第一解 * l+1/2 阶贝塞尔方程通解 (3) 整数阶贝塞尔方程 通解 * （四）虚宗量贝塞尔方程 (1) v阶虚宗量贝塞尔方程 在x0=0的邻域上求解 v?整数或半奇数 v阶贝塞尔方程 整数阶贝塞尔方程在x=0处的自然边界条件 正项级数，除x=0外恒不为零 * 9.4 施图姆－刘维尔本征值问题 一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。 （一）施图姆－刘维尔本征值问题 施图姆－刘维尔型方程： 化为施图姆－刘维尔型方程： 二阶常微分方程最一般的形式： * （1） 振动方程： A 为一常数。 （2） 勒让德方程： （3） 连带勒让德方程： * 瑞士数学家J.C.F.Sturm, 法国数学家J.Liouville, 1836~1838年发表的研究结果 （5） 埃尔米特方程： 标准形式 （4） 贝赛尔方程： （6） 拉盖尔方程： 标准形式 * 证明： 如端点x=a是k(x)的一级零点 在x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件 如端点x=a或b是k(x)的一级零点，则在该端点存在自然边界条件 不高于一级极点 勒让德方程的自然边界条件： * （二）本征值问题 如 连续或最多以x=a 和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值： 及无限多本征函数 2. 所有本征值 证： * 第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零 第三类齐次边界条件： 所以 即 3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 正交： 本征值与本征函数一一对应： * 证： 第一、第二类齐次或自然边界条件： * 第三类齐次边界条件： 同样： 4. 本征函数族完备 f(x) 具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件。 绝对且一致收敛 * （三）广义傅立叶级数 复本征函数族 前边讨论的都是实变量的实值函数。一般地，本征函数还可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。 Hilbert 空间 把本征值问题的无穷多个本征函数看作一个无穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以用这组基展开。换句话说，满足相应边界条件的任意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空间又是一个内积空间，所有基矢量相互正交或互相垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分量即为该函数的广义Fourier系数。这样的空间就是所谓 Hilbert 空间。 欧拉方程 常系数线性微分方程 附录： 欧拉方程 则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程: 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① ① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: 代入①确定系数, 得 ① 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 解: 由题设得定解问题 ③ 则③化为 特征根: 设特解: ④ ⑤ 代入⑤得 A＝1 利用初始条件④得 故所求特解为 ③ ④ 提示: 原方程 直接令 为常数 9.1 特殊函数的常微分方程 园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。 （一）直角坐标系内的拉普拉斯方程 正交曲线座标系中的拉普拉斯方程 球域内Laplace方程的边值问题 坐标变换 隐含着的周期边值条件和球内约束条件 直角坐标： 柱坐标： 球坐标： （1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量 令 拉普拉斯算子： * 欧拉形式方程 球函数方程 * 常数 对欧拉形式方程作变量代换 因式分解 解为： 式中：C和D为积分常数. 球函数方程，令 自然的周期边界条件： l-阶缔合勒让德方程 * l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。 * 令 （2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量 * 1. 2. 3. 贝塞耳方程 虚宗量贝塞耳方程 侧面的齐次边界条件 的可能数值 上下低面的齐次边界条件 的可能数值 * （二）波动方程的分离变量 令 振动方程 亥姆霍兹方程 （三）输运方程的分离变量 令 亥姆霍兹方程 增长或衰变的方程 * （四）亥姆霍兹方程 1. 球坐标 l 阶球贝塞耳方程 球函数方程 * 阶贝塞耳方程 * m阶贝塞耳方程 2. 柱坐标 齐次边界条件，本征值问题 * 分离变数结果 拉普拉斯方程 方程 球坐标系 柱坐标