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数学概念及其教学 数学概念概述 数学概念学习的心理分析 数学概念教学的基本要求和教法探讨 数学概念概述 数学概念的意义 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 “属性”与“本质属性” ；概念及其名称和符号 数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来； 概念的内涵和外延 概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。 概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。 例：“△ABC的顶点” 内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质； 外延是指 A、B、C三点的集合。 注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2）概念的内涵和外延是发展的 概念间的关系（概念外延间的同异关系） 1、相容关系 （1）同一关系（全同关系或重合关系） 外延完全重合，内涵可以不同。 例如：数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等； 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。 注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。 （2）从属关系 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延 和 的关系可以写成 （3）交叉关系 如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合 和集合 ，如果 是非空集合而且不是 ，那么这两个概念具有交叉关系。 （4）不相容关系（全异关系） 如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。 全异关系又分为反对关系和矛盾关系。 概念的定义和原始概念 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。 原始概念 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。 数学中常用的几种定义方式 （1）属概念加种差的定义方式 四边形+两组对边分别平行=平行四边形 （2）发生定义方式 在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。 （3）揭示外延的定义方式 整数和分数统称为有理数。 （4）约定式定义 我们规定“ ” 。 下定义的基本要求 （1）定义应当相称 无理数：有理数开不尽的方根。× 平行线：两条不相交的直线。 × （2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角） （3）定义一般不用否定形式 不是有理数的数是无理数。 × （4）定义应当简明 两组对边平行的平面四边形是平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。 （5）定义一般不用比喻说法 概念的划分和分类 把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法叫做概念的划分。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。 概念分类的要求： （1）排中律 （2）同一律 （3）无矛盾律（使用同一标准，逐级分类等） 数学概念的特点 概括性 逻辑性 抽象性 多质性 发展性 数学概念学习的心理分析 概念学习的基本形式 1.概念的形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下： （1）辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。 （2）分化出各种刺激模式的属性。 （3）抽象出各个刺激模式的共同属性。 （4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。 （7）用习惯的形式符号表示新概念。 “函数”概念的形成过程： 1、观察实例，写出变量间的关系表达式： （1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间 （2）由某一