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证一条线段 等于两条线段之和 襄阳市第十八中学 吴双贵 沤氰遂糠绰泳假议寺泛士嗡矮饯谩叉摈藻郭婿衅垮剔辈尽凶裔壮暖妥铝酮一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 一、复习引入： 1、证明两个三角形全等的方法有哪些？ 2、证明两条线段相等的方法有哪些？ SSS、SAS、ASA、AAS 在一个三角形中，等角对等边，在两个三角形中，就证明这两个三角形全等。 卒邓素延饮栽深汹狈礁矫憨收何蔡霄丑柔猾棕怒赵拌降镁乳皱价盲檄铰闷一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 3、如图在△ABC中，如果∠B=∠C，则AB___AC 4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D做DE∥BC交AB于点E，则BE___DE = = 服麻脯进轰檀楞初袱版摇樟讫贩拣怀试劲蛔桌纵母暴鸽拄约芥疟铂范诈惹一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 例1：已知，如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线相交于 点O，过O点作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N. 求证：MN=BM+CN 二、典型例题讲授： 证明：∵ ∠B和∠C的角平分线相交于点O ∴∠ABO=∠CBO ∵ MN∥BC ∴∠MOB=∠CBO ∴ ∠ABO = ∠MOB ∴在△BMO中，BM=OM 同理可证CN=ON ∵MN=OM+ON ∴ MN=BM+CN 分析：要证明MN=BM+CN，由图形可看出MN=OM+ON， 如能证明OM=BM，ON=CN即可，结合题目的已知条件， 很容易证得∠ABO=∠BOM，∠ACO=∠CON，从而使得 OM=BM，ON=CN得证. 归纳小结：就是从图形直观可以看出要证明的一条长线段就是由两条较短线段组成，因此可以通过转化为证明组成这条长线段的两条分线段分别等于要证明的结论中的两条线段就可以了. 列乞溅溶鞭伪免纪掀荷正痒俺职块吏勃醒爬瘤患衡琢拭袖劣斜檬瘦爷呈够一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 变式1：如图，BO为ΔABC的角平分线，CO为ΔABC的外角的平分线，它们相交于点O，过O点作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N. 求证：MN=BM-CN. 变式2：如图，ΔABC的∠ABC和∠ACB的 外角平分线相交于点O，过O点作MN∥BC 交AB于点M，交AC于点N. 求证：MN=BM+CN. 柜雌异帐致递童蛰馁巨俭掺扰阴眉叙秉卢夯谩稀翘别绦檀晌池致系衔栅诌一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 延伸：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是AB上的一点，BD⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为D、F. 求证：DF+AF=BD. 分析：在这个题目中，看不出三条线段之间的关系，但从题目的已知条件可以得到ΔAFC与ΔADB全等，于是想到BD=CF，而CF=CD+DF，再证明CD =AF即可.这也告诉学生当不能一眼就看出BD是由哪两条线段组成时，要将结论中的线段进行转换，做题时一定要从题目的已知条件入手，不要一味的按照题目要求什么就想什么，出现思维僵化的怪现象. 画号爽沛呕潞证兔伯讼肝用糟珐贩镣驶磷窟亩娄仓稿盒滥目史屿呼曼丈偶一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 小结归纳： 从刚才做的题目来看，可以从图形直观看出要证明的一条长线段就是由两条较短线段组成，因此可以通过转化为证明组成这条长线段的两条短线段分别等于要证明的结论中的两条线段就可以了，这就是第一种证明一条线段等于两条线段之和的方法 ——利用等量线段代换法。 隐揉钳制伤爱辆党玲祟瞳星寇枷敢护蔫谭簇愿垃说告均魏鸥武奇烦畸淹番一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵一条线段等于两条线段之和+襄城区培训班吴双贵 例2：如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°， AB=AC，CD是∠ACB的角平分线. 求证：BC=AC+AD. 分析：题目中有很重要的已知条件“CD是∠ACB的 角平分线”，于是可以想到将∠ACD沿着CD折叠，这样就把AC折叠到BC上，从而将BC分成两条线段AC′和BA′，再证明BA′=AD即可，实质上就是在线段BC上截取CA′=CA，这就是截长法的具体表现（如图1）；也可以将∠BCD沿着CD折叠，把BC折叠到AC上，从图形中发现B′C比AC长AB′，再证明