线性系统的运动分析.ppt

在讨论一般线性定常连续系统的运动分析之前，先讨论线性定常齐次状态方程的解，以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。 1. 级数展开法 在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常微分方程 在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量，a为常数。 由常微分方程理论知，该方程的解连续可微。 因此，该解经泰勒展开可表征为无穷级数，即有 式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。 将所设解代入该微分方程，可得 如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得 令x(t)的解表达式中t=0，可确定 q0=x(0) 因此， x(t)的解表达式可写为 上述求解标量微分方程的级数展开法，可推广至求解向量状态方程的解。 为此，设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+… 式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得 q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2 +…+qktk+…) 如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得 若初始时刻t0=0，初始状态x(0)=x0，则可确定 q0=x(0)=x0 因此，状态x(t)的解可写为 该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式，所以称为矩阵指数函数，且记为 2．拉氏变换法 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换，那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。 对该齐次状态方程x’=Ax，设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0，对方程两边取拉氏变换，可得 sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为 X(s)=(sI-A)-1x0 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。 对标量函数，我们有 将上述关系式推广到矩阵函数则有 因此，基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换，该齐次方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。 若初始时刻t0?0，对上述齐次状态方程的解作坐标变换，则可得解的另一种表述形式: 【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解 (3) 状态方程的解为 为讨论方便，引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: ?(t)=eAt 因此，有如下关系式 x(t)=?(t)x0=?(t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系 ?(t)=L-1[(sI-A)-1] 1. 基本定义 定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件: ?’(t)=A?(t), ?(t)|t=0=I 的解?(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。 引入上述状态转移矩阵新定义，主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等， 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。 当系统矩阵A为n×n维方阵时，状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: A=diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。 2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diag{A1 A2 … Al} 其中Ai为mi?mi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为 式中，block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。 2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性