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北师大九年级数学上册教案汇总
第一章 证明(二)
三角形有关性质、定理及反证法知识要点
三角形的性质与判定:
序号
必记项目
必记知识
必记内容
巧记方法
1
公理
三角形全等的判定公理
三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等;两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
SSSSASASA
2
定理
三角形全等的判定定理
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
AAS
3
公理
三角形全等的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等
4
定理
等腰三角形的性质的推论
等腰三角形的两个底角相等
等边对等角
5
定理
等腰三角形的判定定理
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合
“三线合一”
6
定理
等边三角形的判定定理
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
7
定理
有一个角等于30°的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
8
定理
等边三角形的判定定理
三个角都相等的三角形是等边三角形
等角对等边
9
定理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言:若∠C=90°,则c2=a2+b2
10
概念
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理
11
定理
勾股定理的逆定理
如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形
符号语言若,则a2+b2=c2,∠C=90°。
12
定理
直角三角形全等的判定定理
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
HL
证明方法:综合法、反证法
综合法:①审题:找出已知、求证的各量之间的关系;②分析解题思路:一般采用逆向思考,即从结论入手,追溯结论成立的理由。③书写推理过程,从已知入手,将分析过程倒着写出来反证法:在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。(步骤:①提假设:假设命题的结论不成立,②推矛盾:从假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;③得结论:从而肯定命题的结论)几种常见的结论和它的否定形式:“a>b” “a≤b”“a=b” “a≠b”或“a<b,a>b”“a∥b” “a与b相交”“点在直线上” “点在直线外”“至少有一个” “一个都没有”“至少有两个” “至多有一个”
互逆命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题。 (“条件”与“结论”交换)
互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理。
易错易混点
Z—01Z—02如图Z—01,△ABC为AD为中线,
Z—01
Z—02
如图 Z—02所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,且AB=AC,DE、DF分别是垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证BE=CF。
典型例题
在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是_____________。
ZM—03ZM—04已知:如图Z—03所示,
ZM—03
ZM—04
已知:如图Z—04,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,求证:AB=2BC。变形题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°. 已知:求证:
如图Z—05所示,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。求证:AB+BD=AC。
ZM—05ZM—06ZM—07如图Z—06,在△ABC中,∠CAB=90°,∠
ZM—05
ZM—06
ZM—07
折叠矩形纸ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图Z—07,若AB=2,BC=1,求AG的长。
学习自评
△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,若∠EBC=∠BAD,则△ABC一定是( )A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
一个三角形三边之比为3:4:5,则此三角形三边上的高之比为( )A. 3:4:5 B. 5:4:3 C. 20:15:12 D. 9:8:7
三角形三边长分别为6,8,10,那么它的最短边上的高为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
直角三角形的斜边长为13cm,面积为30cm2,另两边分别为( )A. 5cm, 6cm B. 7.5cm,8cm C. 5cm,12cm D. cm,cm
两
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