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p-级数与交错 p-级数的和 * Maple check: p:=sqrt(2): f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); evalf(((2^(p-1)-1)/2^(p-1)))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity)); 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 优秀精品课件文档资料 p-级数与交错 p-级数的和 * p-级数与交错 p-级数的和 蜀南竹海 2012.5.1 p-级数与交错 p-级数的和 * 提 要 当 p1时 p-级数收敛，相应的交错 p-级数绝对收敛。 那么它们的和之间有什么关系？ 能否由 p-级数的和推导出相应的交错 p-级数的和？ 本课件给出相应的结果，并举例说明。 所有例子都用数学软件Maple给予了验证。 p-级数与交错 p-级数的和 * 先看一个简单的例子 p-级数与交错 p-级数的和 * p-级数与交错 p-级数的和 * p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check p-级数与交错 p-级数的和 * 用同样的方法可以解一下问题： p-级数与交错 p-级数的和 * 以下我们给出一般的结论 p-级数与交错 p-级数的和 * p-级数与交错 p-级数的和 * p-级数与交错 p-级数的和 * 注1 当 p1 是偶数时，p-级数的和有精确表达式 （设 p=2m 是偶数）： 其中B2m是伯努利数（见：Bernoulli number） 见维基百科：Riemann zeta function p-级数与交错 p-级数的和 * p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: p-级数与交错 p-级数的和 * p:=4: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: p-级数与交错 p-级数的和 * p:=8: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: p-级数与交错 p-级数的和 * 注2 当 p1 不是偶数时，p-级数的和没有精确表达式，只能用zeta函数表示为ζ(p) 或用近似值表示。 p-级数与交错 p-级数的和 * p:=3: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Su