转化与化归思想参考答案.doc

转化与化归思想 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学内容和解题过程中． 一　特殊与一般的转化 例1　(1)AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为 (2)已知函数f(x)＝(a0且a≠1)，则f＋f＋…＋f的值为________． 解析　(1)找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝1，则A(－2，1)，B(2,1)， 过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0，则l1，l2的交点为(0，－1)． (2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋ ＝＋＝＝1， ∴f＋f＋…＋f ＝＋＋…＋＋f＝1×49＋＝. 思维升华　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． 　(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则＝________. (2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f＝________. 答案　(1)　(2)0 解析　(1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形， 且cos A＝，cos C＝0， 代入所求式子，得＝＝. (2)因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)， 所以＝， 使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)， 其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化， 可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx， 经验证f(x)＝xsin 2πx满足题意，则f＝0. 如图，过△ABC的重心G作一直线与AB，AC分别交于点D，E.若＝x，＝y，xy≠0，则＋的值为________． 过抛物线）的焦点作直线交抛物线于两点,若线段PF与QF的长分别为,则 二　函数、方程、不等式之间的转化，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . (2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋)，使得对任意的x[1，m]，m∈Z且m1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________． 解析　(1)1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根， 1＋2＝－，1×2＝，解得由(－31)?x＝－3x2＋x＋20，得3x2－x－20，解得x－或x1. (2)因为当t∈[－1，＋)且x[1，m]时，x＋t≥0， 所以f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋)，使得不等式t1＋ln x－x对任意x[1，m]恒成立． 令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)． 因为h′(x)＝－1≤0， 所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. 所以要使得对x∈[1，m]，t值恒存在， 只须1＋ln m－m≥－1. 因为h(3)＝ln 3－2＝ln(·)ln ＝－1， h(4)＝ln 4－3＝ln(·)ln ＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 所以满足条件的最大整数m的值为3. 思维升华　函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 　(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________． (2)设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________． 答案　(1)(－∞，－8]　(2)(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析　(1)设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程 t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a得a＋4＝－，