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讲清两个侧面引导学生建立正确的数学观 　　【摘要】数学知识既是演绎的又是实验归纳的，但人们往往只看到其演绎的一面而忽略了其实验归纳的过程，这不利于学生认清数学的本质.本文从合情推理的意义与价值、数学知识的逻辑程序与历史程序、数学发展过程中的两个动力、数学中规定的必要性与合理性等角度，分析比较数学的两个侧面及其关系，对引导学生建立正确的数学观做了一些尝试. 　　【关键词】数学知识；两个侧面；数学观 　　一、一个有趣的例子 　　1777年，法国数学家蒲丰（Comtede Buffon ）提出了一个有趣的求π值的实验方法：在平面上画两条距离为a的平行线，将一根长度为l（l　　我们知道圆周率π是圆周长与直径的比值，是一个有确定值的精确概念，却可用与圆周毫不相干的投针实验来近似地得出，真是不可思议.其实这个结论反映了数学知识内在的本质的联系，这里不去研究.问题是：数学作为一门逻辑性的演绎学科，实验归纳扮演什么样的角色呢？进而引发了关于数学观的疑问：数学是演绎的，还是实验归纳的？抑或两者兼而有之？数学发展的动力是什么？数学真理的标准是什么？ 　　二、数学观与数学的本质 　　数学观是人们对数学的总体看法，也就是人们对什么是数学的认识，从认识论的角度来说，每个人都有自己的数学观，大多数人趋于共识的认识构成了主流的数学观.数学的本质究竟是什么？ 　　关于数学的本质究竟是什么，主要有以下几种观点： 　　恩格斯说：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学. 　　著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为：数学是系统化了的常识. 　　数学史学家认为：数学是人为规定的一套语言、符号系统. 　　数学哲学家认为：数学是确定无疑的绝对真理.也有人认为正好相反：数学是可误的且可纠正的等等. 　　数学观决定着人们对数学的态度和解决数学问题的方法.20世纪初，数学家在如何解决数学基础危机问题上由于各自不同的数学观（罗素认为数学就是逻辑，冯?诺伊曼认为数学是符号游戏，布劳威认为数学是心智的构造）便产生了三种解决方案，并由此发展出数学基础的三大学派：逻辑派、形式派、直觉派. 　　三、数学的两个侧面 　　波利亚指出数学既是一门系统的演绎科学又是一门实验性的归纳科学，即数学具有二重性.“一方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，它是欧几里得式的严谨科学，是一门系统的演绎科学；另一方面，从形成过程中的数学看来却像是一门实验性归纳科学.”由于数学教科书记载的是定型的数学知识，因此，数学展现给人们都是第一个侧面，很少反映第二个侧面，从而在学生思想中形成数学是严谨的演绎学科的深刻印象，掩盖了数学实验与归纳的面目，从而形成片面的数学观.这种片面的数学观将妨碍学生正确理解和运用数学，也影响学生学习数学的兴趣. 　　四、教师的责任 　　数学教育工作者自身的数学观对教学方式及学生数学观的形成的影响是很大的. 　　如果把数学看成是绝对的真理、看成静态知识的堆砌，那么数学教学的目的就是教师把这些知识原样地传授给学生，学生只需模仿和记忆，教学评价则以学生掌握知识量作为评价指标. 　　如果认为数学真理不是绝对的，把数学看成问题、语言、命题、理论和观念组成的复合体，是动态的认识发展系统，那么数学教学的目的就是培养学生的批判意识和创造能力，提升人的数学素养、实现人的发展. 　　既然存在着不同的数学观，作为数学教育工作者，必须选择正确的数学观并把它融入数学教育工作中去，数学教育的任务应该是既把数学知识传授给学生又培养其创新精神，同时又使学生形成正确的数学观. 　　讲清数学的两个侧面，引导学生建立正确的数学观，是广大数学教育工作者的责任，也是值得深入探讨的一个问题. 　　笔者认为，在传授数学知识的同时，使学生了解以下几点，对形成正确的数学观是有益的. 　　（一）合情推理的意义与价值 　　科学思维具有两重性：一类是进行论证推理的逻辑思维；另一类则是形象思维.形象思维最直接的层面是合情推理.逻辑思维是在 “抓到真理”后进行完善和 “补充证明”的思维，而合情推理则是 “发现真理”的思维. 　　合情推理是波利亚的“启发法” 中的一个推理模式，它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法，是波利亚多年深入研究数学问题解决过程得出的理论成果.波利亚认为，可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的；在问题解决过程中，人们总是针对具体情况，不断地向自己提出有启发性的问句、提示，以启动与推进思维的小船. 　　他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利亚给我们指出数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且有许许多多其他方面：推广、归纳、类推