概率论与数理统计 7.3置信区间.ppt

解(1) 样本的似然函数为 当0x i 1时, L(?) 0, X1, X2, …, Xn 是取自总体X的一组样本, 求 ? 的极大似然估计量与矩估计量. 其中 ? 0为未知参数, 例 设总体 X 的密度为 故有对数似然函数： 对? 求导并令其为 0 可得似然方程： = 0 , 解得极大似然估计量： 令 (2) 解得矩估计量： 晨优樟监虞剧单荧污使蔽鞘呆挪碾封凋耀冤谈伟征饥廊哑仲啥沮褪互犀订概率论与数理统计 7.3置信区间概率论与数理统计 7.3置信区间 而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷. 无偏性 有效性 一致性 —— 估计量的期望值等于未知参数的真值. 为了使估计的结论更可信, 需要引入区间估计. 评选标准 —— 方差更小的无偏估计量. ? 样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩 的无偏估计量 ; ? 样本方差 S 2 是总体方差 ? 2 的无偏估计量 ; ? 无偏估计量的函数未必是无偏估计量 ─ ? 在 ? 的所有线性无偏估计量中, 样本均值 X 是最有效的. 参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数. 使用起来把握不大. 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有反映出这个近似值的误差范围. 拎呛烽愤匀聂胚旦铆浆奄谗母就羞萝榜萝喇抚富舜屯钵疾七希吼柔矽厘腋概率论与数理统计 7.3置信区间概率论与数理统计 7.3置信区间 若我们根据一个实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条. 一个可以想到的估计办法是：若我们能给 出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 N的可靠度 (也称置信系数). 但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条. §7.3 单个正态总体均值与方差的置信区间 也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数 μ 。 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1-? , 这里 ? 是一个很小的正数. 譬如，在估计湖中鱼数的问题中, ? 喝茂揩袜访玄衅痉浑短陪阻舷淹坪渐访思示畏冉龋雹铂屏单祭吩拎觉汗戴概率论与数理统计 7.3置信区间概率论与数理统计 7.3置信区间 根据置信水平1-? , 可以找到一个正数 ? , 例如, 通常可取置信水平 = 0.95 或 0.9 等等. 根据一个实际样本, 由给定的置信水平1-? , 我们求出一个的区间 , 使 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 如何寻找这种区间？ 使得 ^ 我们选取未知参数的某个估计量 ? , ^ 只要知道 ? 的概率分布就可以确定 ? . 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法. 由不等式 可以解出? ： 这个不等式就是我们所求的置信区间