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习题1 1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：(1) 由，知： ，, 消去t可得轨道方程： ∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆； （2）由，有速度： 而，有速率：。 1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。 解：（1）由，可知 ， 消去t得轨道方程为：，∴质点的轨道为抛物线。 （2）由，有速度： 从到秒的位移为： （3）和秒两时刻的速度为：， 。 1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由，有：，，有：； （2）而，有速率： ∴，利用有： 。 1-4．一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为，升降机上升的高度为，运动方程分别为 （1） （2） （3） （注意到为负值，有） 联立求解，有：。 解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为， 利用，有：。 1-5．一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的，，。 解：（1）如图，可建立平抛运动学方程： ， ，∴； （2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：（为抛物线方程）； （3）∵，∴， 即：， 在落地瞬时，有：，∴ 又∵ ，∴ 。 1-6．路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度. 证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为，足的坐标为， 由相似三角形关系可得：， ∴ 两边对时间求导有： ，考虑到：， 知人影中头的速度：（常数）。 1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？ 解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置： 若 解得 ， 。 1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。 解：小球落地时速度为，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示， → （1） → （2） 第二次落地时：，代入（2）式得：， 所以：。 1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为。 解：由向心力公式：， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：，而现在赤道上物体的向心力为： ∴ 1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。 因此有：， ； （ 2）在落地点时子弹的，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有： 则： 。 1-11．飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为有： ┄①，┄② 联立方程解得：，∴。 1-12．设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。 证明：两个物体初速度为和，在任意时刻的速度为： 与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。 1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为： 故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间t可以得到第二秒末物体速度：，（向上） 第三秒末物体速度： 第四秒末物体速度：（向下）。 1-14．质点沿轴正向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程。 解： 由于是一维运动，所以，由题意：， 分离变量并积分有： ，得： 又∵ ， 积分有： ∴ 1-15．跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。 解：取水