证明三点共线问题的方法.doc

证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于、、，求证：、、三点共线。 解：记，易知 又易证.则. 同理.故. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数) 证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。 记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。 联结OM、ON、DM、DN、MH、NH， 易知， ∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆， 此时， 因为（B、D、H、E四点共圆）， 即；又，所以，故 同理，。 因为，所以，M、H、N三点共线。 3、利用面积法 如果，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。 、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又 M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。 证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示， 由可知， 点O必在内，此时， 同理，。 因此。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。 注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。 4、利用同一法 尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。 、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与 MN交于S，证明：A、S、C三点共线。 证明：如图4(b)，令PQ与AC交于， 易证互补。 而，则 ， 故。再令MN与AC交于。同理可得 但，所以。利用合比性质得，。 因此，，可断定与必重合于点S，故A、S、C三点共线。 注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。 5、利用位似形的性质 如果与是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、、O；B、、O；C、、O分别三点共线，而且、的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。 例5、如图,内部的三个等圆⊙、⊙、⊙两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与的一边相切,已知O、I分别是的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。 证明：联结、、。由已知得 、、。 可断定与是一对位似三角形， 且易知的内心I是两者的位似中心。 因为⊙、⊙、⊙为等圆， 即, 所以点P是的外心。又点O是的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。 利用反证法 有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。 例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点、、，如果到四边距离之和皆相等，那么，、、三点共线，试证之。 证明：先看两点， 设直线分别交AD、BC于M 、N， 于，于， 于，于。 因为DC//AB，则点到AB、CD的距离之和等于点到AB、CD的距离之和。由已知可得。过点作AD的平行线、过点作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记交于G，交于H。 观察上式有。所以，。 因为有两条高，所以，是等腰三角形，则。 故。 再用反证法证明点一定在上：假设点不在上，联结并延长分别交AD、BC于，易知点在MN的异侧；因为点到AD、BC的距离之和等于点到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有。 事实上，观察图形只能得到，矛盾，这说明点必在上，即MN上，因此、、三点共线。 用塞瓦定量的逆定理 变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若 ，则AD、BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。 例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K，证明：E、K、F三点共线。 解：联结AE、ED、CF、FB得凸六边形ABFCDE。 欲证E、K、F三点共线，即AC、BD、EF三线共点， 只须证。 注意到。 则。又PE=PF， 则。 故。 因此，AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线。 练 习 题 在中，，它的内切圆切BC、CA、AB于D、E、F。设FE与BC交 于，FD与AC交于，DE与BA交于。求证：、、三点共线。 （提示：方法1） 证明：圆外切凸四边形对角线的中点及圆心三点共线。（提示：利用面积法） 凸四边形ABCD内接于圆，AC与BD交于P，过点A、D分别作BD、AC的垂线交于点K，